Giới hạn của hàm số

Để hiểu được khái niệm giới hạn (lim), chúng ta cùng xem ví dụ sau với hàm số $f(x)=x+2$‍:

Giới hạn (lim) của hàm $f$‍ khi $x$‍ tiến dần tới $3$‍ là giá trị mà hàm $f$‍ sẽ tiến gần tới khi giá trị của $x$‍ tiến gần tới 3. Theo đồ thị, đây là giá trị $y$‍ mà ta sẽ tiến gần đến khi ta di chuyển gần đến điểm trên đồ thị ứng với $x=3$‍.

Hãy tưởng tượng, chúng ta bắt đầu từ điểm $(1;3)$‍ và di chuyển trên đồ thị về phía điểm có hoành độ $x=3$‍, khi đó tung độ $y$‍ (hay chính là giá trị của hàm số) sẽ càng lúc càng tiến gần đến $5$‍.

Tương tự, nếu chúng ta bắt đầu từ điểm $(5;7)$‍ và di chuyển trên đồ thị về phía điểm có hoành độ $x=3$‍, khi đó tung độ $y$‍ cũng sẽ tiến rất gần đến $5$‍.

Vì những lí do trên, chúng ta nói rằng hàm số $f(x)$‍ có giới hạn là $5$‍ khi $x$‍ tiến dần tới $3$‍.

Bạn có thể thắc mắc về sự khác biệt giữa hai khái niệm: giới hạn của hàm số $f$‍ khi $x$‍ tiến dần tới $3$‍ và giá trị của hàm $f$‍ tại $x=3$‍ (hay chính là $f(3)$‍).

Trong trường hợp này, giới hạn của hàm $f(x)=x+2$‍ khi $x$‍ tiến dần tới $3$‍ bằng $f(3)$‍, tuy nhiên điều này không đúng với mọi hàm số. Hãy cùng xét hàm số $g$‍ giống hệt hàm số $f$‍ ở mọi mặt trừ việc hàm $g$‍ không xác định khi $x=3$‍.

Cũng như hàm $f$‍, hàm số $g(x)$‍ có giới hạn là $5$‍ khi $x$‍ tiến dần tới $3$‍.

Vậy giới hạn của hàm $g$‍ khi $x$‍ tiến dần tới $3$‍ bằng $5$‍, tuy nhiên hàm $g$‍ không xác định khi $x=3$‍.

Đó là bản chất của khái niệm giới hạn. Giới hạn không phụ thuộc vào giá trị thực của hàm số tại điểm giới hạn, nó mô tả đặc tính của hàm số khi biến số tiến gần đến điểm giới hạn.

Chúng ta có một kí hiệu đặc biệt để biểu diễn giới hạn. Đây là cách chúng ta kí hiệu giới hạn của hàm $f$‍ khi $x$‍ tiến gần tới $3$‍:

Ký hiệu ${\displaystyle lim}$‍ có nghĩa là giới hạn của một hàm nào đó.

Biểu thức bên phải kí hiệu ${\displaystyle lim}$‍ là biểu thức mà ta cần tìm giới hạn. Trong trường hợp này là hàm số $f$‍.

Biểu thức $x\to 3$‍ nằm bên dưới kí hiệu ${\displaystyle lim}$‍ có nghĩa là chúng ta sẽ tìm giới hạn của hàm $f$‍ khi giá trị $x$‍ tiến gần đến $3$‍.

Hãy cùng xem giá trị của hàm $f(x)=x+2$‍ sẽ thay đổi như thế nào khi $x$‍ tiến rất gần đến $3$‍.

Chúng ta có thể thấy rằng, khi giá trị $x$‍ nhỏ hơn $3$‍ nhưng ngày càng tiến gần đến $3$‍ và vẫn đảm bảo nhỏ hơn $3$‍, giá trị của hàm $f$‍ sẽ tiến ngày càng gần hơn đến $5$‍.

Chúng ta cũng có thể thấy rằng, khi giá trị $x$‍ lớn hơn $3$‍ nhưng ngày càng tiến gần đến $3$‍ và vẫn đảm bảo lớn hơn $3$‍, giá trị của hàm $f$‍ sẽ tiến ngày càng gần hơn đến $5$‍.

Giá trị gần nhất với $5$‍ trong bảng trên là $f(\mathrm{2,999})=\mathrm{4,999}$‍ và $f(\mathrm{3,001})=\mathrm{5,001}$‍, chênh $\mathrm{0,001}$‍ đơn vị so với $5$‍.

Chúng ta có thể đến gần hơn thế nếu muốn. Ví dụ: giả sử chúng ta muốn tìm giá trị chênh $\mathrm{0,000}01$‍ đơn vị so với $5$‍, chúng ta sẽ chọn $x=\mathrm{3,000}01$‍, khi đó $f(\mathrm{3,000}01)=\mathrm{5,000}01$‍.

Ta thấy, ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍ cũng có nghĩa là, bất kể ta tìm được một giá trị hàm số gần $5$‍ đến mức nào, luôn có một giá trị $x$‍ gần $3$‍ để thay vào biểu thức hàm số và cho ra kết quả đó.

Nếu bạn thấy hơi khó hiểu, hãy suy nghĩ về câu hỏi: Tại sao chúng ta lại biết rằng có vô số số nguyên khác nhau? Có phải ai đó đã đếm tất cả các số nguyên và tìm ra được kết quả là vô hạn không? Câu trả lời là không. Chúng ta biết số lượng các số nguyên là vô hạn bởi vì, với bất kỳ số nguyên nào, ta cũng có thể tìm được một số nguyên khác lớn hơn. Chúng ta sẽ luôn luôn tìm được một số nguyên lớn hơn một số nguyên bất kì.

Giới hạn không phải là giá trị lớn nhất của hàm số. Giới hạn là giá trị mà hàm số sẽ càng lúc càng tiến gần tới. ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍ có nghĩa là giá trị hàm số luôn có thể đến gần hơn nữa đến $5$‍.

${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2}$‍ là giới hạn của biểu thức $x^2$‍ khi $x$‍ tiến gần $2$‍.

Chúng ta có thể thấy rằng, khi $x$‍ tiến gần đến $2$‍, giá trị $y$‍ sẽ ngày càng tiến gần đến $4$‍.

Ta cũng đưa ra kết luận tương tự khi nhìn vào bảng giá trị sau:

Giả sử chúng ta muốn tìm $x$‍ sao cho giá trị hàm số tương ứng ít hơn $\mathrm{0,001}$‍ đơn vị so với $4$‍. Giá trị $x$‍ cần tìm bằng bao nhiêu, có gần với $2$‍ không?

Hãy thử $x=\mathrm{2,001}$‍:

Giá trị mà ta vừa tìm được lớn hơn $4$‍ xấp xỉ $\mathrm{0,001}$‍ đơn vị. Hãy thử $x=\mathrm{2,000}1$‍:

Ta thấy, khi $x$‍ ngày càng gần $2$‍, giá trị hàm số sẽ ngày càng tiến gần hơn đến $4$‍.

Ta có thể kết luận, ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4}$‍.

Xét hàm $f(x)=x+2$‍ và ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$‍, ta thấy giá trị hàm số tiến gần đến $5$‍ khi $x$‍ tăng dần đến $3$‍ (hay "tiến gần về bên trái") hoặc khi $x$‍ giảm dần về $3$‍ (hay "tiến gần về bên phải").

Hãy cùng xét ví dụ về hàm $h$‍ sau. Giới hạn của giá trị hàm số $h$‍ khi $x$‍ tiến gần ​​đến $3$‍ phụ thuộc vào $x$‍ tiến tới từ bên trái hay bên phải.

Khi $x$‍ tiến tới $3$‍ về bên trái, giá trị hàm số tiến gần tới $4$‍. Khi $x$‍ tiến tới $3$‍ về bên phải, giá trị hàm số tiến gần tới $6$‍.

Khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số khi $x$‍ tiến tới $x_0$‍ khác nhau, chúng ta nói rằng giới hạn của hàm số khi $x$‍ tiến tới $x_0$‍ không tồn tại.