Nội dung chính
Toán lớp 11 (Việt Nam)
Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 4
Bài học 2: Giới hạn hàm số- Giới hạn của hàm số
- Giới hạn của hàm số
- Giới hạn của hàm số
- Ước lượng giới hạn hàm số khi biết đồ thị
- Ước lượng giới hạn hàm số khi biết đồ thị
- Ước lượng giới hạn hàm số khi biết đồ thị
- Tìm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
- Tìm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
- Phương pháp thay trực tiếp
- Xác định bước tiếp theo sau khi áp dụng phương pháp thay trực tiếp để tìm giới hạn
- Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
- Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số: tổng và hiệu
- Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số: tích và thương
- Tính giới hạn một bên của hàm số từ đồ thị
- Tính giới hạn một bên của hàm số từ đồ thị (ví dụ 2)
- Tính tổng giới hạn của các hàm số được cho bởi nhiều công thức
- Tính giới hạn một bên của hàm số từ đồ thị
- Tính giới hạn của hàm số xác định theo từng khoảng
- Giới hạn của hàm số xác định theo từng khoảng: giá trị tuyệt đối
- Tính giới hạn của hàm số xác định theo từng khoảng
- Mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và giới hạn
- Mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và giới hạn
- Giới thiệu về giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
- Đồ thị biểu diễn giới hạn tại vô cực
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực (phần 1)
- Giới hạn của hàm phân thức hữu tỉ tại vô cực
- Giới hạn hữu hạn tại vô cực của hàm số chứa căn thức (bậc lẻ)
- Giới hạn hữu hạn tại vô cực của hàm số chứa căn thức (bậc chẵn)
- Giới hạn của hàm số phân thức chứa căn bậc hai tại vô cực
- Giới thiệu về giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
- Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
- Phân tích giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm: hàm số hữu tỉ
- Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm: biểu thức hỗn hợp
- Đồ thị biểu diễn giới hạn vô cực
- Giới hạn vô cực
- Bài tập về giới hạn vô cực
- Tìm giới hạn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Tìm giới hạn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Tính giới hạn của hàm số chứa căn thức
- Tìm giới hạn bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp
- Bước tiếp theo cần làm khi gặp trường hợp vô định trong bài toán tìm giới hạn
- Các phương pháp tìm giới hạn
- Các phương pháp tìm giới hạn
- Chứng minh giới hạn của sinx/x khi x tiến đến 0 bằng 1
- Tính giới hạn của (1-cosx)/x khi x tiến đến 0
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie
Giới hạn của hàm số
Giới hạn mô tả giá trị của hàm số khi biến số tiến gần tới một điểm chứ không phải là giá trị của hàm số tại điểm đó. Khái niệm cơ bản nhưng quan trọng này là cơ sở của môn giải tích.
Để hiểu được khái niệm giới hạn (lim), chúng ta cùng xem ví dụ sau với hàm số :
Giới hạn (lim) của hàm khi tiến dần tới là giá trị mà hàm sẽ tiến gần tới khi giá trị của tiến gần tới 3. Theo đồ thị, đây là giá trị mà ta sẽ tiến gần đến khi ta di chuyển gần đến điểm trên đồ thị ứng với .
Hãy tưởng tượng, chúng ta bắt đầu từ điểm và di chuyển trên đồ thị về phía điểm có hoành độ , khi đó tung độ (hay chính là giá trị của hàm số) sẽ càng lúc càng tiến gần đến .
Tương tự, nếu chúng ta bắt đầu từ điểm và di chuyển trên đồ thị về phía điểm có hoành độ , khi đó tung độ cũng sẽ tiến rất gần đến .
Vì những lí do trên, chúng ta nói rằng hàm số có giới hạn là khi tiến dần tới .
Bạn có thể thắc mắc về sự khác biệt giữa hai khái niệm: giới hạn của hàm số khi tiến dần tới và giá trị của hàm tại (hay chính là ).
Trong trường hợp này, giới hạn của hàm khi tiến dần tới bằng , tuy nhiên điều này không đúng với mọi hàm số. Hãy cùng xét hàm số giống hệt hàm số ở mọi mặt trừ việc hàm không xác định khi .
Cũng như hàm , hàm số có giới hạn là khi tiến dần tới .
Vậy giới hạn của hàm khi tiến dần tới bằng , tuy nhiên hàm không xác định khi .
Đó là bản chất của khái niệm giới hạn. Giới hạn không phụ thuộc vào giá trị thực của hàm số tại điểm giới hạn, nó mô tả đặc tính của hàm số khi biến số tiến gần đến điểm giới hạn.
Chúng ta có một kí hiệu đặc biệt để biểu diễn giới hạn. Đây là cách chúng ta kí hiệu giới hạn của hàm khi tiến gần tới :
Ký hiệu có nghĩa là giới hạn của một hàm nào đó.
Biểu thức bên phải kí hiệu là biểu thức mà ta cần tìm giới hạn. Trong trường hợp này là hàm số .
Biểu thức nằm bên dưới kí hiệu có nghĩa là chúng ta sẽ tìm giới hạn của hàm khi giá trị tiến gần đến .
Chuyện gì sẽ xảy ra khi hàm số càng lúc càng tiến gần đến giới hạn?
Hãy cùng xem giá trị của hàm sẽ thay đổi như thế nào khi tiến rất gần đến .
Chúng ta có thể thấy rằng, khi giá trị nhỏ hơn nhưng ngày càng tiến gần đến và vẫn đảm bảo nhỏ hơn , giá trị của hàm sẽ tiến ngày càng gần hơn đến .
Chúng ta cũng có thể thấy rằng, khi giá trị lớn hơn nhưng ngày càng tiến gần đến và vẫn đảm bảo lớn hơn , giá trị của hàm sẽ tiến ngày càng gần hơn đến .
Giá trị gần nhất với trong bảng trên là và , chênh đơn vị so với .
Chúng ta có thể đến gần hơn thế nếu muốn. Ví dụ: giả sử chúng ta muốn tìm giá trị chênh đơn vị so với , chúng ta sẽ chọn , khi đó .
Ta thấy, cũng có nghĩa là, bất kể ta tìm được một giá trị hàm số gần đến mức nào, luôn có một giá trị gần để thay vào biểu thức hàm số và cho ra kết quả đó.
Nếu bạn thấy hơi khó hiểu, hãy suy nghĩ về câu hỏi: Tại sao chúng ta lại biết rằng có vô số số nguyên khác nhau? Có phải ai đó đã đếm tất cả các số nguyên và tìm ra được kết quả là vô hạn không? Câu trả lời là không. Chúng ta biết số lượng các số nguyên là vô hạn bởi vì, với bất kỳ số nguyên nào, ta cũng có thể tìm được một số nguyên khác lớn hơn. Chúng ta sẽ luôn luôn tìm được một số nguyên lớn hơn một số nguyên bất kì.
Giới hạn không phải là giá trị lớn nhất của hàm số. Giới hạn là giá trị mà hàm số sẽ càng lúc càng tiến gần tới. có nghĩa là giá trị hàm số luôn có thể đến gần hơn nữa đến .
Một ví dụ khác:
Chúng ta có thể thấy rằng, khi tiến gần đến , giá trị sẽ ngày càng tiến gần đến .
Ta cũng đưa ra kết luận tương tự khi nhìn vào bảng giá trị sau:
Giả sử chúng ta muốn tìm sao cho giá trị hàm số tương ứng ít hơn đơn vị so với . Giá trị cần tìm bằng bao nhiêu, có gần với không?
Hãy thử :
Giá trị mà ta vừa tìm được lớn hơn xấp xỉ đơn vị. Hãy thử :
Ta thấy, khi ngày càng gần , giá trị hàm số sẽ ngày càng tiến gần hơn đến .
Ta có thể kết luận, .
Giới hạn một phía
Xét hàm và , ta thấy giá trị hàm số tiến gần đến khi tăng dần đến (hay "tiến gần về bên trái") hoặc khi giảm dần về (hay "tiến gần về bên phải").
Hãy cùng xét ví dụ về hàm sau. Giới hạn của giá trị hàm số khi tiến gần đến phụ thuộc vào tiến tới từ bên trái hay bên phải.
Khi tiến tới về bên trái, giá trị hàm số tiến gần tới . Khi tiến tới về bên phải, giá trị hàm số tiến gần tới .
Khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số khi tiến tới khác nhau, chúng ta nói rằng giới hạn của hàm số khi tiến tới không tồn tại.
Tham gia cuộc thảo luận?
Chưa có bài đăng nào.