If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 4

Bài học 2: Giới hạn hàm số
Toán
Toán lớp 11 (Việt Nam)
Giới hạn - Hàm số liên tục
Giới hạn hàm số
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Ước lượng giới hạn hàm số khi biết đồ thị

Google Classroom
Đồ thị hàm số là một phương thức hữu hiệu để nghiên cứu về giới hạn. Bài đọc này sẽ hỗ trợ bạn tìm hiểu cách phân tích giới hạn bằng đồ thị và đưa ra ví dụ về các trường hợp mà giới hạn không tồn tại.
Giá trị mà hàm số đang tiến dần đến — hay chính là giới hạn của hàm số — và giá trị của hàm số là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau. Đồ thị là một công cụ tuyệt vời để hiểu được sự khác biệt giữa hai khái niệm này.
A function is graphed and animated. The x-axis goes from 0 to 3. The graph is a curve that starts at (0, 0.5), moves downward through an open circle at about (2, 0.25). A cursor moves a point on the curve toward the open circle from the left and the right. Values get close to 0.25. At the open circle, the coordinate displays as (2, undefined).
Có thể sử dụng desmos.com để tìm limx→2x−2x2−4.
Khi x tiến gần đến 2 về cả bên trái và bên phải, giá trị hàm số tương ứng tiến gần đến 0,25.
Ở ví dụ trên, ta thấy rằng giá trị của hàm số khi x=2 không xác định, tuy nhiên giới hạn là khoảng 0,25.
Giá trị trên chỉ là giá trị xấp xỉ, không phải giá trị chính xác. Ta có thể phóng to hình để có được giá trị gần đúng hơn nếu muốn.

Ví dụ

Các ví dụ dưới đây giới thiệu cách sử dụng đồ thị hàm số để tìm giá trị xấp xỉ của giới hạn. Trong một vài trường hợp, giới hạn của hàm số và giá trị của hàm số bằng nhau, một vài trường hợp khác thì không.

Trường hợp giới hạn của hàm số bằng giá trị của hàm số

Bài 1
Tìm limx→1g(x).
Function g is graphed. The x-axis goes from negative 8 to 8. The graph consists of 1 curve. The curve starts at about (negative 7, negative 8) and moves upward through a point at x = 1 between y = negative 1 and y = negative 2, closer to y = negative 1. The curve ends in quadrant 1.
Chọn 1 đáp án:

Trường hợp giới hạn của hàm số không bằng giá trị của hàm số

Dưới đây là một ví dụ về đồ thị của hàm số xác định theo từng khoảng:
Bài 2
Tìm limx→1g(x).
Function g is graphed. The x-axis goes from negative 8 to 8. The graph consists of a curve and a closed circle. The curve starts at about (negative 8, 6), moves downward to about (negative 3, 3.5), and moves upward through an open circle at x = 1, just above y = 4. The curve ends in quadrant 1. A closed circle is plotted at x = 1, just below y = 2.
Chọn 1 đáp án:

Ghi nhớ: Giá trị của hàm số khác giới hạn của hàm số là điều hoàn toàn có thể xảy ra.

Hàm số không xác định với mọi giá trị x không có nghĩa là không có giới hạn

Đồ thị của hàm số hữu tỉ bị gián đoạn và không xác định khi mẫu của biểu thức bằng 0. Đây là một ví dụ điển hình:
A function is graphed. The x-axis goes from negative 3 to 3. The graph is a U-shaped curve that starts at about (negative 2.5, 4), moves downward to an open circle at (0, 1), moves upward, and ends at about (2.5, 4).
Đây là đồ thị của hàm số y = x/sin x. Lưu ý rằng đồ thị có một khoảng trống khi x = 0 vì hàm số không xác định tại đó.
Trong ví dụ trên, giới hạn của hàm số khi x tiến gần tới 0 bằng 1 cho dù hàm không xác định khi x=0.
Dưới đây là một trường hợp tương tự:
Bài 3
Tìm limx→−4f(x).
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 8 to 8. The graph consists of a curve. The curve starts in quadrant 2 and moves downward through an open circle at x = negative 4, just above the grid line for y = 3. The curve ends in quadrant 4.
Chọn 1 đáp án:

Lưu ý: Giá trị của hàm số khi x=−4 không liên quan đến việc tìm giới hạn. Tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm xem y đang tiến gần tới giá trị nào khi x ngày càng tiến gần hơn đến −4.

Mặt khác, khi hàm số xác định với một số giá trị x, điều đó không có nghĩa là giới hạn hàm số chắc chắn tồn tại

Đồ thị sau biểu diễn một hàm số xác định theo từng khoảng. Khi x tiến gần đến 3 về cả hai phía, y tiến về hai giá trị khác nhau.
Bài 4
Tìm limx→3g(x).
Chọn 1 đáp án:

Bạn muốn luyện tập thêm? Hãy xem những bài luyện tập này.

Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm

Phầm mềm vẽ đồ thị (chẳng hạn như Desmos) có thể giúp bạn có cái nhìn trực quan hơn về giới hạn của hàm số. Hãy thử sử dụng phầm mềm vẽ đồ thị để tìm các giới hạn sau:
limx→0xsin⁡(x)limx→3x−3x2−9
Trong cả hai trường hợp trên, hàm số không xác định với giá trị x mà ta đang xét, tuy nhiên vẫn tồn tại giá trị giới hạn tại đó.

Câu hỏi tổng kết

Bài 5
Mệnh đề limx→af(x)=f(a) có luôn luôn đúng hay không?
Chọn 1 đáp án:

Bài 6
Phát biểu nào mô tả chính xác cách đồ thị giúp chúng ta tìm giới hạn?
Chọn tất cả đáp án đúng:

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.