Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 10 (Việt Nam) > Chương 9

Bài học 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Tính toán độ lệch chuẩn theo từng bước

Giới thiệu

Trong bài đọc này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính toán độ lệch chuẩn "thủ công".

Trên thực tế, không có chuyên viên thống kê nào tính toán độ lệch chuẩn một cách thủ công do các phép tính liên quan rất phức tạp và nguy cơ tính toán sai là rất cao. Hơn nữa, việc tính toán thủ công tốn rất nhiều thời gian. Đó là lý do vì sao các chuyên viên thống kê sẽ sử dụng bảng tính và phần mềm.

Vậy mục đích của bài đọc này là gì? Tại sao chúng ta lại dành thời gian để học một quy trình mà các chuyên viên thống kê không sử dụng? Câu trả lời là vì học cách tính toán thủ công giúp chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn về khái niệm độ lệch chuẩn. Thay vì coi độ lệch chuẩn như một con số thần kỳ do các chương trình máy tính cung cấp, ta có thể giải thích tại sao lại có con số đó.

Cách tính độ lệch chuẩn

Công thức tính độ lệch chuẩn (s):

$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Trong đó,

\sum

là kí hiệu tổng,

x

là một số liệu,

μ

là số trung bình cộng và

n

là số các số liệu trong mẫu số liệu.

Công thức tính độ lệch chuẩn trông có vẻ khó hiểu, tuy nhiên nếu chúng ta chia nhỏ ra, công thức sẽ dễ hiểu hơn. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn thông qua các ví dụ cụ thể với từng bước. Các bước mà chúng ta sẽ thực hiện để tính độ lệch chuẩn bao gồm:

Bước 1: Tính số trung bình cộng.

Bước 2: Tính bình phương của hiệu giữa từng số liệu và số trung bình cộng.

Bước 3: Tính tổng tất cả các giá trị tìm được ở bước 2.

Bước 4: Lấy tổng chia cho số các số liệu.

Bước 5: Lấy căn bậc hai của kết quả vừa tìm được.

Lưu ý quan trọng

Công thức trên được dùng để tính độ lệch chuẩn của một tổng thể. Đối với một mẫu (tập con của tổng thể), ta sẽ áp dụng công thức hơi khác một chút. Thay vì chia cho

n

, ta sẽ chia cho

n - 1

. Tuy nhiên, mục đích của bài đọc này là giúp chúng ta làm quen với các bước tính độ lệch chuẩn. Cả hai công thức đều bao gồm các bước giống nhau.

s_{mẫu} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n - 1}}

Đó là một câu hỏi hay nhưng rất khó để trả lời ngắn gọn. Chúng tôi có rất nhiều video và ví dụ liên quan đến chủ đề này - khá rắc rối nhưng cũng rất thú vị.

Nếu bạn muốn tìm hiểu về sự khác biệt giữa độ lệch chuẩn của tổng thể và của mẫu cũng như lý do tại sao hai công thức này lại không giống nhau, bạn có thể xem bài đọc về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu.

Tiếp tục nào!

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn theo từng bước cụ thể

Trước tiên, chúng ta cần có một mẫu số liệu. Ta nên chọn một mẫu số liệu có giá trị nhỏ để tránh bị rối. Chúng ta sẽ sử dụng mẫu số liệu sau:

$6, 2, 3, 1$ ‍

Bước 1: Tìm $μ$ ‍ trong công thức $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Ở bước này, ta cần tìm số trung bình cộng của mẫu số liệu, kí hiệu là

μ

Điền vào chỗ trống:

μ =

Bước 2: Tìm $| x - μ |^{2}$ ‍ trong công thức $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Ở bước này, ta cần tìm hiệu giữa mỗi số liệu và số trung bình cộng (còn gọi là độ lệch), sau đó lấy bình phương mỗi hiệu ấy.

Ví dụ: Số liệu đầu tiên là

6

và số trung bình cộng là

3

nên hiệu là

3

. Bình phương hiệu này bằng

9

Hoàn thành bảng sau:

Số liệu $x$ ‍	Bình phương hiệu giữa số liệu và số trung bình cộng $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$9$ ‍
$2$ ‍	Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍
$3$ ‍	Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍
$1$ ‍	Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍

Số liệu $x$ ‍	Bình phương hiệu giữa số liệu và số trung bình cộng $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Bước 3: Tìm $\sum | x - μ |^{2}$ ‍ trong công thức $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Ký hiệu

\sum

có nghĩa là "tổng", vì vậy ở bước này chúng ta tính tổng của bốn giá trị mà ta tìm được ở bước 2.

Điền vào chỗ trống:

\sum | x - μ |^{2} =

Bước 4: Tìm $\frac{\sum | x - μ |^{2}}{n}$ ‍ trong công thức $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Ở bước này, chúng ta chia kết quả ở bước 3 cho số các số liệu, kí hiệu là

n

Điền vào chỗ trống:

\frac{\sum | x - μ |^{2}}{n} =

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Ở bước này, ta cần tính căn bậc hai của kết quả tìm được ở bước 4.

Điền vào chỗ trống:
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}} \approx

Vậy là chúng ta đã tính được độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu có giá trị nhỏ.

Tóm tắt các bước đã thực hiện

Ta chia nhỏ công thức thành năm bước:

Bước 1: Tính số trung bình cộng

μ

$μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ ‍

Bước 2: Tính bình phương của hiệu giữa từng số liệu và số trung bình cộng

| x - μ |^{2}

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍		$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Bước 3, 4, và 5:

$\begin{aligned} s & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\ = \sqrt{\frac{14}{4}} Cộng các bình phương của hiệu (Bước 3). \\ = \sqrt{3, 5} Chia cho số các số liệu (Bước 4). \\ \approx 1, 87 Lấy căn bậc hai (Bước 5). \end{aligned}$ ‍

Vận dụng kiến thức

Xin nhắc lại, độ lệch chuẩn được tính bằng công thức sau:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Và đây là một mẫu số liệu:

$1, 4, 7, 2, 6$ ‍

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

s =

Tính số trung bình cộng

μ = \frac{1 + 4 + 7 + 2 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4

Tính bình phương của hiệu giữa từng số liệu và số trung bình cộng

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$4$ ‍		$\| 4 - 4 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$7$ ‍		$\| 7 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Áp dụng công thức

\begin{aligned} s & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{n}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 0 + 9 + 4 + 4}{5}} \\ = \sqrt{\frac{26}{5}} \\ = \sqrt{5, 2} \\ \approx 2, 28 \end{aligned}

Đáp án

Độ lệch chuẩn là xấp xỉ $2, 28$ ‍.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 10 (Việt Nam)