Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 9 (Việt Nam) > Chương 6

Bài học 1: Phương trình bậc hai một ẩn

Giải phương trình bậc hai bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

Học cách giải phương trình bậc hai như (x-1)(x+3)=0 và cách phân tích đa thức thành nhân tử để giải các dạng phương trình khác.

Kiến thức cần nắm trước khi bắt đầu bài học

Nội dung bài học

Trong các bài học trước, chúng ta đã học cách giải phương trình bậc nhất, đó là các phương trình bao gồm các hằng số và các hạng tử bậc nhất, như

x^{1} = x

Bạn cũng có thể đã giải một số phương trình bậc hai, bao gồm hạng tử bậc hai, bằng cách lấy căn bậc hai của cả hai vế.

Trong bài học này, bạn sẽ học một cách mới để giải phương trình bậc hai. Cụ thể, bạn sẽ học

cách giải các phương trình tích như $(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ và
sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải các phương trình $($ ‍như $x^{2} - 3 x - 10 = 0)$ ‍.

Giải phương trình tích

Giả sử chúng ta được yêu cầu giải phương trình bậc hai

(x - 1) (x + 3) = 0

Tích của hai biểu thức này có giá trị bằng không. Lưu ý rằng những giá trị của

x

mà làm cho

(x - 1)

hoặc

(x + 3)

bằng

0

, sẽ làm tích của cả hai biểu thức bằng

0

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

Thay

x = 1

hoặc

x = - 3

vào phương trình sẽ ra được kết quả

0 = 0

, do đó cả hai đều là nghiệm của phương trình.

Giờ bạn hãy tự giải một vài phương trình tương tự nhé.

Giải phương trình $(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍.

Giải phương trình $(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍.

Câu hỏi tư duy

Có thể áp dụng phương pháp giải tương tự cho phương trình $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍ không?

Phương pháp giải mà bạn vừa học chỉ áp dụng được trong trường hợp chúng ta có tích bằng 0.

Vì chỉ khi tích bằng 0 thì chúng ta mới biết rằng một trong các thừa số phải bằng 0; chúng ta không quan tâm thừa số khác là gì.

Trong trường hợp tích bằng một số khác 0 như

6

, không có yêu cầu đặc biệt nào đối với một trong các thừa số. Chúng ta chỉ có thể suy luận về cả hai thừa số. Ví dụ:

nếu một trong các thừa số là $1$ ‍, thừa số còn lại là $6$ ‍;
nếu một trong các thừa số là $2$ ‍, thừa số còn lại là $3$ ‍; hoặc
nếu một trong các thừa số là $\frac{1}{2}$ ‍, thừa số còn lại là $12$ ‍.

Điều này không cho phép chúng ta biến phương trình bậc hai thành hai phương trình bậc nhất riêng biệt.

Lưu ý về tính chất nhân với 0

Làm sao chúng ta biết không còn nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm mà chúng ta tính ra bằng phương pháp của mình?

Câu trả lời là một tính chất đơn giản nhưng rất hữu ích, được gọi là tính chất nhân với 0:

Nếu tích của hai số bằng 0, thì ít nhất một trong các số phải bằng 0.
Chúng ta đã biết rằng tích của bất kỳ số nào và số 0 đều bằng 0, nhưng nguyên tắc này cho chúng ta biết rằng nếu tích bằng 0, thì chắc chắn rằng một trong các thừa số bằng 0.
Hãy nghĩ về trường hợp cả hai thừa số đều không bằng $0$ ‍. Trong trường hợp này, tích cũng sẽ không bằng $0$ ‍. Ví dụ, ngoài số $0$ ‍ thì không có số nào nhân với $2$ ‍ được tích bằng $0$ ‍.
Do đó, để tích bằng không thì một trong các thừa số phải bằng 0.

Việc thay thế bất kỳ giá trị nào của

x

ngoại trừ các nghiệm ta đã tìm được sẽ tạo ra một tích gồm hai thừa số khác 0, có nghĩa là tích chắc chắn không bằng 0. Do đó, chúng ta biết rằng không còn nghiệm nào khác ngoài các nghiệm ta vừa tìm được.

Giải phương trình bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Giả sử chúng ta muốn giải phương trình

x^{2} - 3 x - 10 = 0

, tất cả những gì chúng ta phải làm là phân tích

x^{2} - 3 x - 10

thành nhân tử và giải như trước!

x^{2} - 3 x - 10

có thể được viết thành

(x + 2) (x - 5)

Vì hệ số cao nhất (hệ số của

x^{2}

) là

1

, chúng ta có thể sử dụng dạng tổng-tích.

Với dạng tổng-tích, nếu chúng ta tìm thấy hai số

a

và

b

sao cho

a + b = - 3

và

a \cdot b = - 10

, thì

x^{2} - 3 x - 10 = (x + a) (x + b)

Bằng cách xét các cặp số nguyên có tích bằng

- 10

và sau đó loại bỏ các cặp số có tổng khác

- 3

, chúng ta tìm được cặp số

a = 2

và

b = - 5

Do đó, ta có thể phân tích đa thức thành $(x + 2) (x - 5)$ ‍.

Phương trình sẽ được giải như sau:

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & Phân tích. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x = 5 \end{aligned}$ ‍

Bây giờ đến lượt bạn tự giải vài phương trình. Hãy nhớ rằng các phương trình khác nhau yêu cầu các phương pháp phân tích nhân tử khác nhau.

Giải phương trình $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Bước 1. Phân tích $x^{2} + 5 x$ ‍ thành tích của hai biểu thức bậc nhất.

Bước 2. Giải phương trình.

Giải phương trình $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Bước 1. Phân tích $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ thành tích của hai biểu thức bậc nhất.

Vì hệ số cao nhất (hệ số của

x^{2}

) là

1

, chúng ta có thể sử dụng dạng tổng-tích.

Với dạng tổng-tích, nếu chúng ta tìm thấy hai số

a

và

b

sao cho

a + b = - 11

và

a \cdot b = 28

, thì

x^{2} - 11 x + 28 = (x + a) (x + b)

Bằng cách xét các cặp số nguyên có tích bằng

28

và sau đó loại bỏ các cặp số có tổng khác

- 11

, chúng ta tìm được cặp số

a = - 4

và

b = - 7

Do đó, ta có thể phân tích đa thức thành $(x - 4) (x - 7)$ ‍.

Bước 2. Giải phương trình.

Giải phương trình $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Bước 1. Phân tích $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ thành tích của hai biểu thức bậc nhất.

Bước 2. Giải phương trình.

Chúng ta đã biết rằng

4 x^{2} + 4 x + 1

có thể được phân tích thành

(2 x + 1)^{2}

. Do đó, chúng ta có thể giải phương trình như sau.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ (2 x + 1)^{2} & = 0 & Phân tích. \end{aligned}$ ‍

Trong trường hợp này, chúng ta có một tích có hai thừa số giống nhau:

2 x + 1

. Không cần thiết phải giải hai phương trình.

(2 x + 1)^{2}

bằng

0

khi và chỉ khi

2 x + 1

bằng

0

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

Kết luận, phương trình có một nghiệm duy nhất, $x = - \frac{1}{2}$ ‍.

Giải phương trình $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.

Bước 1. Phân tích $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ thành tích của hai biểu thức bậc nhất.

Vì hệ số cao nhất (hệ số của

x^{2}

) khác

1

, chúng ta nên sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.

Để làm điều đó, trước tiên chúng ta phải tìm hai số

a

và

b

sao cho

a + b = 11

và

a b = (3) (- 4) = - 12

Bằng cách xét các cặp số nguyên có tích bằng

- 12

và sau đó loại bỏ các cặp số có tổng khác

11

, chúng ta tìm được

a = 12

và

b = - 1

. Bây giờ chúng ta viết lại

11 x

thành

(12 x - x)

và nhóm hạng tử.

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 \\ = 3 x^{2} + 12 x - x - 4 \\ = 3 x (x + 4) - 1 (x + 4) \\ = (3 x - 1) (x + 4) \end{aligned}$ ‍

Kết luận, $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ có thể viết thành $(3 x - 1) (x + 4)$ ‍.

Bước 2. Giải phương trình.

Biến đổi phương trình trước khi phân tích thành nhân tử

Một vế phải bằng 0.

Đây là cách giải phương trình

x^{2} + 2 x = 40 - x

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & Trừ cả hai vế cho 40 và cộng cả hai vế với x . \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & Rút gọn. \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & Phân tích. \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x = 5 \end{aligned}

Trước khi phân tích, chúng ta đã sắp xếp để tất cả các hạng tử nằm ở một vế và vế còn lại bằng 0. Chỉ khi đó, chúng ta mới có thể giải phương trình sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Loại bỏ nhân tử chung

Đây là cách giải phương trình

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & Chia cả hai vế cho 2. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & Phân tích. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Tất cả hạng tử đều có một nhân tử chung là

2

, vì vậy chúng ta chia hai vế cho

2

—vế bằng 0 vẫn bằng 0—điều này làm cho việc phân tích nhân tử dễ dàng hơn.

Giờ bạn hãy tự giải một vài phương trình tương tự nhé.

Giải phương trình.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

Giải phương trình.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

Giải phương trình.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 9 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 9 (Việt Nam) > Chương 6

Kiến thức cần nắm trước khi bắt đầu bài học

Nội dung bài học

Giải phương trình tích

Câu hỏi tư duy

Lưu ý về tính chất nhân với 0

Giải phương trình bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Giải phương trình x2+5x=0‍ .

Giải phương trình x2−11x+28=0‍ .

Giải phương trình 4x2+4x+1=0‍ .

Giải phương trình 3x2+11x−4=0‍ .

Biến đổi phương trình trước khi phân tích thành nhân tử

Một vế phải bằng 0.

Loại bỏ nhân tử chung

Tham gia cuộc thảo luận?

Giải phương trình $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Giải phương trình $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Giải phương trình $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Giải phương trình $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.