Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 9 (Việt Nam) > Chương 6

Bài học 1: Phương trình bậc hai một ẩn

Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp biến một vế thành một bình phương

Ví dụ, giải phương trình x²+6x=-2 bằng cách biến đổi nó thành (x+3)²=7 và lấy căn bậc hai của hai vế.

Kiến thức cần nắm trước khi bắt đầu bài học

Nội dung bài học

Trong các bài học trước, chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai bằng những phương pháp đơn giản và hiệu quả như lấy căn bậc hai hay phân tích đa thức thành phân tử. Tuy nhiên, không phải lúc nào chúng ta cũng áp dụng được các phương pháp này.

Trong bài học này, chúng ta sẽ học một phương pháp có thể được áp dụng để giải mọi dạng phương trình bậc hai.

Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp biến một vế thành một bình phương

Ta cùng xét phương trình

x^{2} + 6 x = - 2

. Ở đây, ta không thể áp dụng phương pháp lấy căn bậc hai và phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình này.

Tuy nhiên, chúng ta có thể biến một vế của phương trình thành một bình phương rồi từ đó giải phương trình. Hãy xem lời giải dưới đây và phân tích cách thực hiện phương pháp này.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & Cộng cả hai vế với 9. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Biến vế trái thành một bình phương. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Lấy căn bậc hai cả hai vế. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & Trừ cả hai vế cho 3. \end{aligned}

Kết luận, phương trình có các nghiệm là

x = \sqrt{7} - 3

và

x = - \sqrt{7} - 3

Các bước giải đã được tiến hành như thế nào?

Ở dòng thứ

(2)

, ta cộng cả hai vế với

9

, biến

x^{2} + 6 x

trở thành biểu thức là dạng khai triển của bình phương một tổng, rồi viết lại biểu thức đó thành

(x + 3)^{2}

. Từ bước này, ta có thể giải tiếp phương trình bằng cách lấy căn bậc hai cả hai vế.

Ở đây, số

9

không phải là một con số ngẫu nhiên. Ta lựa chọn số này vì nó là số thích hợp để biến vế trái thành một bình phương.

Cách biến một biểu thức thành một bình phương

Để tìm ra số

9

, chúng ta phải coi

x^{2} + 6 x

là hai hạng tử trong một bình phương và tìm ra hằng số còn thiếu, hay chính là hạng tử thứ ba, tạo nên bình phương đó.

Giả sử biểu thức ở vế trái có thể được viết lại thành dạng bình phương một tổng

(x + a)^{2}

, trong đó,

a

là một giá trị chưa biết. Khi khai triển bình phương một tổng, ta được biểu thức

x^{2} + 2 a x + a^{2}

. Từ đây, ta có thể rút ra hai điều:

Hệ số của $x$ ‍, chính là hằng số $6$ ‍ trong biểu thức ban đầu, sẽ bằng với $2 a$ ‍. Điều này có nghĩa là $a = 3$ ‍.
Trong ví dụ trên, hằng số chúng ta cần tìm sẽ bằng với $a^{2}$ ‍, hay chính là $3^{2} = 9$ ‍.

Bây giờ, bạn hãy thử tự biến đổi một số biểu thức thành một bình phương nhé.

Bài 1

Tìm số thích hợp sao cho khi cộng số đó với $x^{2} + 10 x$ ‍, ta được một bình phương.

Bài 2

Tìm số thích hợp sao cho khi cộng số đó với $x^{2} - 2 x$ ‍, ta được một bình phương.

Bài 3

Tìm số thích hợp sao cho khi cộng số đó với $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍, ta được một bình phương.

Bài tập nâng cao

Tìm số thích hợp sao cho khi cộng số đó với $x^{2} + b \cdot x$ ‍, ta được một bình phương.

Bài tập nâng cao này giúp chúng ta rút ra công thức như sau: để biến một biểu thức như

x^{2} + b x

thành một bình phương, trong đó

b

là một số bất kỳ, chúng ta cần cộng biểu thức với một số bằng

{(\frac{b}{2})}^{2}

Ví dụ, để biến

x^{2} + 6 x

thành một bình phương, ta cộng

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

vào biểu thức.

Áp dụng phương pháp để giải phương trình

Như vậy, chúng ta đã hiểu cách biến đổi một biểu thức thành một bình phương. Bây giờ, hãy áp dụng phương pháp này để giải các phương trình dưới đây.

Ta cùng giải phương trình

x^{2} - 10 x = - 12

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & Cộng cả hai vế với 25. \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Biến vế trái thành một bình phương. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Lấy căn bậc hai cả hai vế. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & Cộng cả hai vế với 5. \end{aligned}

Ở dòng thứ

(2)

, ta đã cộng

x^{2} - 10 x

với

25

để biến vế trái thành một bình phương. Để phương trình sau khi biến đổi vẫn tương đương phương trình ban đầu, ta phải biến đổi hai vế như nhau, nghĩa ta cũng phải cộng

25

vào vế phải. Khi đó, vế phải sẽ từ

- 12

trở thành

13

Nhìn chung, khi gặp phương trình như ví dụ trên, trong đó một vế của phương trình là một hằng số, ta không cần xét giá trị hằng số ở vế đó mà lựa chọn số thích hợp theo vế còn lại để biến vế còn lại thành một bình phương. Tuy nhiên, sau khi tìm ra số thích hợp, ta phải cộng nó vào cả hai vế để có được phương trình tương đương.

Bây giờ, bạn hãy tự giải một số phương trình sau nhé.

Bài 4

Giải phương trình $x^{2} - 8 x = 5$ ‍.

Bài 5

Giải phương trình $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍.

Biến đổi phương trình trước khi áp dụng phương pháp biến một vế thành một bình phương

Nguyên tắc 1: Đưa các hạng tử chứa ẩn về một vế và chuyển hằng số về vế còn lại

Chúng ta sẽ áp dụng nguyên tắc này cho phương trình

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & Trừ cả hai vế cho x . \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & Cộng cả hai vế với 6. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & Cộng cả hai vế với 4. \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Biến vế trái thành một bình phương. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Lấy căn bậc hai cả hai vế. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & Trừ cả hai vế cho 2. \end{aligned}

Nếu cả hai vế đều có hạng tử chứa

x

, phương pháp biến một vế thành một bình phương sẽ không có hiệu quả. Đó là lý do ở dòng thứ

(2)

, ta trừ cả hai vế cho

x

để đưa tất cả hạng tử chứa ẩn về vế trái.

Tiếp theo, ta cần biến

x^{2} + 4 x

thành một bình phương, bằng cách cộng thêm

4

vào biểu thức. Tuy nhiên, vế trái của phương trình vẫn còn hằng số

- 6

. Đó là lý do ta cộng

6

vào cả hai vế ở dòng thứ

(3)

, để chuyển hằng số

- 6

sang vế phải và chỉ để lại

x^{2} + 4 x

ở vế trái.

Nguyên tắc 2: Đảm bảo hệ số của $x^{2}$ ‍ bằng $1$ ‍.

Chúng ta sẽ áp dụng nguyên tắc này cho phương trình

3 x^{2} - 36 x = - 42

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & Chia cả hai vế cho 3. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & Cộng cả hai vế với 36. \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Biến vế trái thành một bình phương. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Lấy căn bậc hai cả hai vế. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & Cộng cả hai vế với 6. \end{aligned}

Để dễ dàng biến một vế thành một bình phương, ta cần hệ số của

x^{2}

bằng

1

Trong phương pháp biến một vế phương trình thành một bình phương, ta so sánh biểu thức đã cho với dạng khai triển của bình phương một tổng

(x + a)^{2}

, tức là biểu thức

x^{2} + 2 a x + a^{2}

. Như bạn có thể thấy, trong biểu thức này, hệ số của

x^{2}

là

1

Với biểu thức

3 x^{2} - 36 x

, ta có thể biến đổi nó thành một bình phương, nhưng bình phương này sẽ không có dạng tương tự biểu thức khai triển của

(x + a)^{2}

. Thay vào đó, nó sẽ tương đương với dạng

(\sqrt{3} \cdot x + a)^{2}

, tức là biểu thức

3 x^{2} + 2 a \sqrt{3} \cdot x + a^{2}

sau khi khai triển. Như vậy, sẽ không dễ dàng để ta áp dụng phương pháp biến một vế phương trình thành một bình phương khi biểu thức đã cho có hệ số của

x^{2}

khác

1

Đó là lý do tại sao ở dòng thứ

(2)

, chúng ta đã chia cả hai vế cho hệ số của

x^{2}

là

3

Trong một số trường hợp, khi ta chia cả hai vế cho hệ số của

x^{2}

, các hệ số khác trong phương trình sẽ trở thành phân số. Khi đó, bạn vẫn có thể tiếp tục áp dụng phương pháp đã học để giải phương trình, nhưng các phép tính sẽ được thực hiện với phân số thay vì số nguyên.

Bây giờ, bạn hãy tự giải các phương trình tương tự nhé.

Bài 6

Giải phương trình $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 9 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 9 (Việt Nam) > Chương 6

Kiến thức cần nắm trước khi bắt đầu bài học

Nội dung bài học

Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp biến một vế thành một bình phương

Các bước giải đã được tiến hành như thế nào?

Cách biến một biểu thức thành một bình phương

Áp dụng phương pháp để giải phương trình

Biến đổi phương trình trước khi áp dụng phương pháp biến một vế thành một bình phương

Nguyên tắc 1: Đưa các hạng tử chứa ẩn về một vế và chuyển hằng số về vế còn lại

Nguyên tắc 2: Đảm bảo hệ số của x2‍ bằng 1‍ .

Tham gia cuộc thảo luận?

Nguyên tắc 2: Đảm bảo hệ số của $x^{2}$ ‍ bằng $1$ ‍.