If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang sử dụng bộ lọc web, vui lòng kiểm tra lại xem bộ lọc có chặn hai tên miền *.kastatic.org*.kasandbox.org hay không.

Nội dung chính

Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Kết nối mọi điều bạn đã học để phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

Những điều cần biết trong bài học này:

Những cách phân tích đa thức thành nhân tử sau sẽ được áp dụng trong bài học này:

Mục tiêu bài học

Trong bài này, bạn sẽ luyện tập sử dụng phối hợp những phương pháp này với nhau phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.

Mở đầu: Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử

Phương phápVí dụTrường hợp áp dụng
Đặt nhân tử chung= 6x2+3x=3x(2x+1)Nếu mỗi hạng tử trong đa thức có một nhân tử chung.
Dạng tổng-tích= x2+7x+12=(x+3)(x+4)Nếu đa thức có dạng x2+bx+c và ước của c có tổng bằng b.
Nhóm hạng tử= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)Nếu đa thức có dạng ax2+bx+c và ước của ac có tổng bằng b.
Bình phương của một tổng hoặc một hiệu= x2+10x+25=(x+5)2Nếu hạng tử đầu và cuối là số chính phương và hạng tử ở giữa bằng 2 lần tích của căn bậc hai của hai hạng tử đầu và cuối.
Hiệu hai bình phương=  x29=(x3)(x+3)Nếu đa thức ở dạng hiệu của hai bình phương.

Liên kết những gì đã học

Khi thực hành, bạn sẽ hiếm khi được yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử bằng một phương pháp cụ thể. Vì vậy, chúng ta cần một danh sách để giúp quá trình phân tích đa thức thành nhân tử dễ dàng hơn.
Đây là ví dụ của một danh sách như vậy, trong đó bao gồm một chuỗi các câu hỏi giúp ta xác định cách phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.

Phân tích đa thức bậc hai

Trước khi bắt đầu phân tích bất kì đa thức nào, hãy viết đa thức dưới dạng chuẩn.
Đến đây, bạn có thể bắt đầu hỏi những câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không ?
Nếu không, chuyển đến câu hỏi 2. Nếu có, rút nhân tử chung và chuyển đến câu hỏi 2.
Rút nhân tử chung là một bước rất quan trọng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, vì nó sẽ khiến cho các số nhỏ hơn. Nó cũng khiến việc nhận diện các dạng hằng đẳng thức dễ dàng hơn!
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không? (ví dụ x216 hay 25x29)?
Nếu có dạng hiệu của hai bình phương, phân tích thành dạng a2b2=(a+b)(ab). Nếu không, chuyển đến câu hỏi 3.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu không? (Ví dụ: x210x+25 hay 4x2+12x+9)?
Nếu có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu, phân tích thành dạng a2±2ab+b2=(a±b)2. Nếu không, chuyển đến câu hỏi 4.
Câu hỏi 4:
a.) Đa thức có ở dạng x2+bx+c không?
Nếu không, chuyển đến câu hỏi 5. Nếu có, chuyển đến phần b).
b.) Có ước nào của c có tổng bằng b?
Nếu có, phân tích bằng cách sử dụng dạng tổng-tích. Nếu không, đa thức không thể được phân tích thêm nữa.
Câu hỏi 5: Có ước nào của ac có tổng bằng b?
Nếu bạn đã đến đây rồi, đa thức bậc hai phải có dạng ax2+bx+c với a1. Nếu có ước của ac có tổng bằng b, phân tích bằng cách nhóm hạng tử. Nếu không, đa thức không thể được phân tích thêm nữa.
Làm theo danh sách này sẽ giúp bạn chắc chắn rằng bạn đã hoàn toàn phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử!
Ghi nhớ điều này, thử làm những ví dụ sau.

Ví dụ 1: Phân tích 5x280 thành nhân tử

Chú ý rằng đa thức có dạng chuẩn. Ta có thể áp dụng danh sách.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của 5x2805. Ta có thể phân tích thành như sau:
5x280=5(x216)
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Có. x216=(x)2(4)2. Ta có thể dùng dạng hiệu của hai bình phương để tiếp tục phân tích đa thức thành như sau.
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)
Không còn biểu thức bậc hai nào trong biểu thức nữa. Ta đã phân tích đa thức một cách hoàn toàn.
Kết luận, 5x280=5(x+4)(x4).

Ví dụ 2: Phân tích 4x2+12x+9 thành nhân tử

Đa thức bậc hai này cũng có dạng chuẩn. Hãy sử dụng danh sách.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Không. 4x2, 12x9 không có nhân tử chung. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Có đơn thức chứa x vậy nên đây không phải dạng hiệu của hai bình phương. Chuyển đến câu hỏi kế tiếp.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu không?
Có. Hạng tử đầu là số chính phương vì 4x2=(2x)2, và hạng tử cuối là số chính phương vì 9=(3)2. Bên cạnh đó, hạng tử ở giữa bằng hai lần tích của căn bậc hai của hai hạng tử còn lại: 12x=2(2x)(3).
Ta có thể dùng bình phương của một tổng để phân tích đa thức bậc hai.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Kết luận, 4x2+12x+9=(2x+3)2.

Ví dụ 3: Phân tích 12x63+3x2 thành nhân tử

Đa thức bậc hai đang không ở dạng chuẩn. Ta có thể viết lại đa thức thành 3x2+12x63 và sau đó sử dụng danh sách.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của 3x2, 12x633. Ta có thể phân tích thành như sau:
3x2+12x63=3(x2+4x21)
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu không?
Không. Lưu ý rằng 21 không là số chính phương, vậy nên đây không phải dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu. Chuyển đến câu hỏi kế tiếp.
Câu hỏi 4a: Đa thức có dạng x2+bx+c không?
Có. x2+4x21 có dạng này.
Câu hỏi 4b: Có ước nào của c có tổng bằng b?
Có. Cụ thể hơn, có các ước của 21 có tổng bằng 4.
7(3)=217+(3)=4, ta có thể tiếp tục phân tích như sau:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)
Kết luận, 3x2+12x63=3(x+7)(x3).

Ví dụ 4: Phân tích 4x2+18x10 thành nhân tử

Lưu ý rằng đa thức bậc hai này đã ở dạng chuẩn.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của 4x2, 18x102. Ta có thể phân tích thành như sau:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu không?
Không. Câu hỏi kế tiếp.
Câu hỏi 4a: Đa thức có dạng x2+bx+c không?
Không. Hệ số cao nhất của 2x2+9x52. Câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 5: Có ước nào của ac có tổng bằng b?
Đa thức hiện tại ở dạng 2x2+9x5, và ta muốn tìm các ước của 2(5)=10 có tổng bằng 9.
(1)10=10(1)+10=9, câu trả lời là có.
Vậy bây giờ ta có thể viết hạng tử ở giữa thành 1x+10x và dùng phương pháp nhóm hạng tử:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Phân tích hạng tử ở giữa=2((2x21x)+(10x5))Nhóm hạng tử=2(x(2x1)+5(2x1))Rút nhân tử chung=2(2x1)(x+5)Đặt nhân tử chung là 2x1

Bài tập vận dụng

1) Phân tích 2x2+4x16 một cách hoàn toàn.
Chọn 1 đáp án:

2) Phân tích 3x260x+300 một cách hoàn toàn.

3) Phân tích 72x22 một cách hoàn toàn.

4) Phân tích 5x2+5x+15 một cách hoàn toàn.
Chọn 1 đáp án:

5) Phân tích 8x212x8 một cách hoàn toàn.

6) Phân tích 5618x+x2 một cách hoàn toàn.

7) Phân tích 3x2+27 một cách hoàn toàn.
Chọn 1 đáp án:

Tham gia cuộc thảo luận?

Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.