If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Bài học 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Toán
Toán lớp 8 (Việt Nam)
Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Google Classroom
Kết nối mọi điều bạn đã học để phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

Những điều cần biết trong bài học này:

Những cách phân tích đa thức thành nhân tử sau sẽ được áp dụng trong bài học này:

Mục tiêu bài học

Trong bài này, bạn sẽ luyện tập sử dụng phối hợp những phương pháp này với nhau phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.

Mở đầu: Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử

Phương phápVí dụTrường hợp áp dụng
Đặt nhân tử chung= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Nếu mỗi hạng tử trong đa thức có một nhân tử chung.
Dạng tổng-tích= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Nếu đa thức có dạng x, squared, plus, b, x, plus, c và ước của c có tổng bằng b.
Nhóm hạng tử= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Nếu đa thức có dạng a, x, squared, plus, b, x, plus, c và ước của a, c có tổng bằng b.
Bình phương của một tổng hoặc một hiệu= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Nếu hạng tử đầu và cuối là số chính phương và hạng tử ở giữa bằng 2 lần tích của căn bậc hai của hai hạng tử đầu và cuối.
Hiệu hai bình phương=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Nếu đa thức ở dạng hiệu của hai bình phương.

Liên kết những gì đã học

Khi thực hành, bạn sẽ hiếm khi được yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử bằng một phương pháp cụ thể. Vì vậy, chúng ta cần một danh sách để giúp quá trình phân tích đa thức thành nhân tử dễ dàng hơn.
Đây là ví dụ của một danh sách như vậy, trong đó bao gồm một chuỗi các câu hỏi giúp ta xác định cách phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.

Phân tích đa thức bậc hai

Trước khi bắt đầu phân tích bất kì đa thức nào, hãy viết đa thức dưới dạng chuẩn.
Đến đây, bạn có thể bắt đầu hỏi những câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không ?
Nếu không, chuyển đến câu hỏi 2. Nếu có, rút nhân tử chung và chuyển đến câu hỏi 2.
Rút nhân tử chung là một bước rất quan trọng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, vì nó sẽ khiến cho các số nhỏ hơn. Nó cũng khiến việc nhận diện các dạng hằng đẳng thức dễ dàng hơn!
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không? (ví dụ x, squared, minus, 16 hay 25, x, squared, minus, 9)?
Nếu có dạng hiệu của hai bình phương, phân tích thành dạng a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. Nếu không, chuyển đến câu hỏi 3.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu không? (Ví dụ: x, squared, minus, 10, x, plus, 25 hay 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
Nếu có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu, phân tích thành dạng a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. Nếu không, chuyển đến câu hỏi 4.
Câu hỏi 4:
a.) Đa thức có ở dạng x, squared, plus, b, x, plus, c không?
Nếu không, chuyển đến câu hỏi 5. Nếu có, chuyển đến phần b).
b.) Có ước nào của c có tổng bằng b?
Nếu có, phân tích bằng cách sử dụng dạng tổng-tích. Nếu không, đa thức không thể được phân tích thêm nữa.
Câu hỏi 5: Có ước nào của a, c có tổng bằng b?
Nếu bạn đã đến đây rồi, đa thức bậc hai phải có dạng a, x, squared, plus, b, x, plus, c với a, does not equal, 1. Nếu có ước của a, c có tổng bằng b, phân tích bằng cách nhóm hạng tử. Nếu không, đa thức không thể được phân tích thêm nữa.
Làm theo danh sách này sẽ giúp bạn chắc chắn rằng bạn đã hoàn toàn phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử!
Ghi nhớ điều này, thử làm những ví dụ sau.

Ví dụ 1: Phân tích 5, x, squared, minus, 80 thành nhân tử

Chú ý rằng đa thức có dạng chuẩn. Ta có thể áp dụng danh sách.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của 5, x, squared và 80 là 5. Ta có thể phân tích thành như sau:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Có. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Ta có thể dùng dạng hiệu của hai bình phương để tiếp tục phân tích đa thức thành như sau.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Không còn biểu thức bậc hai nào trong biểu thức nữa. Ta đã phân tích đa thức một cách hoàn toàn.
Kết luận, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Ví dụ 2: Phân tích 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 thành nhân tử

Đa thức bậc hai này cũng có dạng chuẩn. Hãy sử dụng danh sách.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Không. 4, x, squared, 12, x và 9 không có nhân tử chung. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Có đơn thức chứa x vậy nên đây không phải dạng hiệu của hai bình phương. Chuyển đến câu hỏi kế tiếp.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu không?
Có. Hạng tử đầu là số chính phương vì 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, và hạng tử cuối là số chính phương vì 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Bên cạnh đó, hạng tử ở giữa bằng hai lần tích của căn bậc hai của hai hạng tử còn lại: 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Ta có thể dùng bình phương của một tổng để phân tích đa thức bậc hai.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Kết luận, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Ví dụ 3: Phân tích 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared thành nhân tử

Đa thức bậc hai đang không ở dạng chuẩn. Ta có thể viết lại đa thức thành 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 và sau đó sử dụng danh sách.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của 3, x, squared, 12, x và 63 là 3. Ta có thể phân tích thành như sau:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu không?
Không. Lưu ý rằng 21 không là số chính phương, vậy nên đây không phải dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu. Chuyển đến câu hỏi kế tiếp.
Câu hỏi 4a: Đa thức có dạng x, squared, plus, b, x, plus, c không?
Có. x, squared, plus, 4, x, minus, 21 có dạng này.
Câu hỏi 4b: Có ước nào của c có tổng bằng b?
Có. Cụ thể hơn, có các ước của minus, 21 có tổng bằng 4.
Vì 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 và 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, ta có thể tiếp tục phân tích như sau:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Kết luận, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Ví dụ 4: Phân tích 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10 thành nhân tử

Lưu ý rằng đa thức bậc hai này đã ở dạng chuẩn.
Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của 4, x, squared, 18, x và 10 là 2. Ta có thể phân tích thành như sau:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu không?
Không. Câu hỏi kế tiếp.
Câu hỏi 4a: Đa thức có dạng x, squared, plus, b, x, plus, c không?
Không. Hệ số cao nhất của 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5 là 2. Câu hỏi tiếp theo.
Câu hỏi 5: Có ước nào của a, c có tổng bằng b?
Đa thức hiện tại ở dạng 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, và ta muốn tìm các ước của 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 có tổng bằng 9.
Vì left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 và left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, câu trả lời là có.
Vậy bây giờ ta có thể viết hạng tử ở giữa thành minus, 1, x, plus, 10, x và dùng phương pháp nhóm hạng tử:
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Phaˆn tıˊch hạng tử ở giữa=2((2x2−1x)+(10x−5))Nhoˊm hạng tử=2(x(2x−1)+5(2x−1))Ruˊt nhaˆn tử chung=2(2x−1)(x+5)Đặt nhaˆn tử chung laˋ 2x−1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Phân tích hạng tử ở giữa}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Nhóm hạng tử}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Rút nhân tử chung}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Đặt nhân tử chung là $2x-1$}}} \end{aligned}

Bài tập vận dụng

1) Phân tích 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16 một cách hoàn toàn.
Chọn 1 đáp án:

2) Phân tích 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300 một cách hoàn toàn.

3) Phân tích 72, x, squared, minus, 2 một cách hoàn toàn.

4) Phân tích 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15 một cách hoàn toàn.
Chọn 1 đáp án:

5) Phân tích 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8 một cách hoàn toàn.

6) Phân tích 56, minus, 18, x, plus, x, squared một cách hoàn toàn.

7) Phân tích 3, x, squared, plus, 27 một cách hoàn toàn.
Chọn 1 đáp án:

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.