Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Bài học 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Kết nối mọi điều bạn đã học để phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

Những điều cần biết trong bài học này:

Những cách phân tích đa thức thành nhân tử sau sẽ được áp dụng trong bài học này:

Mục tiêu bài học

Trong bài này, bạn sẽ luyện tập sử dụng phối hợp những phương pháp này với nhau phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.

Mở đầu: Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp	Ví dụ	Trường hợp áp dụng
Đặt nhân tử chung	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Nếu mỗi hạng tử trong đa thức có một nhân tử chung.
Dạng tổng-tích	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Nếu đa thức có dạng $x^{2} + b x + c$ ‍ và ước của $c$ ‍ có tổng bằng $b$ ‍.
Nhóm hạng tử	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Nếu đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ ‍ và ước của $a c$ ‍ có tổng bằng $b$ ‍.
Bình phương của một tổng hoặc một hiệu	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Nếu hạng tử đầu và cuối là số chính phương và hạng tử ở giữa bằng 2 lần tích của căn bậc hai của hai hạng tử đầu và cuối.
Hiệu hai bình phương	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Nếu đa thức ở dạng hiệu của hai bình phương.

Liên kết những gì đã học

Khi thực hành, bạn sẽ hiếm khi được yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử bằng một phương pháp cụ thể. Vì vậy, chúng ta cần một danh sách để giúp quá trình phân tích đa thức thành nhân tử dễ dàng hơn.

Đây là ví dụ của một danh sách như vậy, trong đó bao gồm một chuỗi các câu hỏi giúp ta xác định cách phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.

Phân tích đa thức bậc hai

Trước khi bắt đầu phân tích bất kì đa thức nào, hãy viết đa thức dưới dạng chuẩn.

Đến đây, bạn có thể bắt đầu hỏi những câu hỏi sau:

Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không ?
Nếu không, chuyển đến câu hỏi 2. Nếu có, rút nhân tử chung và chuyển đến câu hỏi 2.

Rút nhân tử chung là một bước rất quan trọng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, vì nó sẽ khiến cho các số nhỏ hơn. Nó cũng khiến việc nhận diện các dạng hằng đẳng thức dễ dàng hơn!

Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không? (ví dụ $x^{2} - 16$ ‍ hay $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Nếu có dạng hiệu của hai bình phương, phân tích thành dạng

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Nếu không, chuyển đến câu hỏi 3.

Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu không? (Ví dụ: $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ hay $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Nếu có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu, phân tích thành dạng

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. Nếu không, chuyển đến câu hỏi 4.

Câu hỏi 4:

a.) Đa thức có ở dạng $x^{2} + b x + c$ ‍ không?
Nếu không, chuyển đến câu hỏi 5. Nếu có, chuyển đến phần b).

b.) Có ước nào của $c$ ‍ có tổng bằng $b$ ‍?
Nếu có, phân tích bằng cách sử dụng dạng tổng-tích. Nếu không, đa thức không thể được phân tích thêm nữa.

Câu hỏi 5: Có ước nào của $a c$ ‍ có tổng bằng $b$ ‍?
Nếu bạn đã đến đây rồi, đa thức bậc hai phải có dạng

a x^{2} + b x + c

với

a \neq 1

. Nếu có ước của

a c

có tổng bằng

b

, phân tích bằng cách nhóm hạng tử. Nếu không, đa thức không thể được phân tích thêm nữa.

Làm theo danh sách này sẽ giúp bạn chắc chắn rằng bạn đã hoàn toàn phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử!

Khi bạn phân tích một cách hoàn toàn, bạn phân tích đa thức thành nhân tử đến khi không thể phân tích được nữa.

Ví dụ, ta có đa thức

2 x^{2} - 4 x - 16

. Đa thức này có thể phân tích thành nhân tử bằng cách đưa nhân tử chung là

2

ra ngoài.

$2 x^{2} - 4 x - 16 = 2 (x^{2} - 2 x - 8)$ ‍

Tuy nhiên, đây chưa phải là phân tích một cách hoàn toàn vì

x^{2} - 2 x - 8

có thể phân tích thêm được nữa. Cho thêm bước này vào, ta có:

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 4 x - 16 & = 2 (x^{2} - 2 x - 8) \\ = 2 (x - 4) (x + 2) \end{aligned}$ ‍

Lúc này, ta không thể phân tích thêm được nữa vì ta đã đưa đa thức về dạng tích của các biểu thức bậc một và không còn nhân tử chung.

Vì vậy dù

2 (x^{2} - 2 x - 8)

được phân tích từ

2 x^{2} - 4 x - 16

, biểu thức được phân tích hoàn toàn là

2 (x - 4) (x + 2)

Ghi nhớ điều này, thử làm những ví dụ sau.

Ví dụ 1: Phân tích $5 x^{2} - 80$ ‍ thành nhân tử

Chú ý rằng đa thức có dạng chuẩn. Ta có thể áp dụng danh sách.

Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của

5 x^{2}

và

80

là

5

. Ta có thể phân tích thành như sau:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Có.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Ta có thể dùng dạng hiệu của hai bình phương để tiếp tục phân tích đa thức thành như sau.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Không còn biểu thức bậc hai nào trong biểu thức nữa. Ta đã phân tích đa thức một cách hoàn toàn.

Kết luận,

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Ví dụ 2: Phân tích $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ thành nhân tử

Đa thức bậc hai này cũng có dạng chuẩn. Hãy sử dụng danh sách.

Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Không.

4 x^{2}

12 x

và

9

không có nhân tử chung. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.

Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Có đơn thức chứa

x

vậy nên đây không phải dạng hiệu của hai bình phương. Chuyển đến câu hỏi kế tiếp.

Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu không?
Có. Hạng tử đầu là số chính phương vì

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, và hạng tử cuối là số chính phương vì

9 = (3)^{2}

. Bên cạnh đó, hạng tử ở giữa bằng hai lần tích của căn bậc hai của hai hạng tử còn lại:

12 x = 2 (2 x) (3)

Ta có thể dùng bình phương của một tổng để phân tích đa thức bậc hai.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

Kết luận,

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Ví dụ 3: Phân tích $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ thành nhân tử

Đa thức bậc hai đang không ở dạng chuẩn. Ta có thể viết lại đa thức thành

3 x^{2} + 12 x - 63

và sau đó sử dụng danh sách.

Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của

3 x^{2}

12 x

và

63

là

3

. Ta có thể phân tích thành như sau:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.

Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu không?
Không. Lưu ý rằng

21

không là số chính phương, vậy nên đây không phải dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu. Chuyển đến câu hỏi kế tiếp.

Câu hỏi 4a: Đa thức có dạng $x^{2} + b x + c$ ‍ không?
Có.

x^{2} + 4 x - 21

có dạng này.

Câu hỏi 4b: Có ước nào của $c$ ‍ có tổng bằng $b$ ‍?
Có. Cụ thể hơn, có các ước của

- 21

có tổng bằng

4

Vì

7 \cdot (- 3) = - 21

và

7 + (- 3) = 4

, ta có thể tiếp tục phân tích như sau:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Kết luận,

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Ví dụ 4: Phân tích $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ thành nhân tử

Lưu ý rằng đa thức bậc hai này đã ở dạng chuẩn.

Câu hỏi 1: Có nhân tử chung nào không?
Có. Nhân tử chung của

4 x^{2}

18 x

và

10

là

2

. Ta có thể phân tích thành như sau:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Câu hỏi 2: Có hiệu của hai bình phương nào không?
Không. Chuyển đến câu hỏi tiếp theo.

Câu hỏi 3: Có dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu không?
Không. Câu hỏi kế tiếp.

Câu hỏi 4a: Đa thức có dạng $x^{2} + b x + c$ ‍ không?
Không. Hệ số cao nhất của

2 x^{2} + 9 x - 5

là

2

. Câu hỏi tiếp theo.

Câu hỏi 5: Có ước nào của $a c$ ‍ có tổng bằng $b$ ‍?
Đa thức hiện tại ở dạng

2 x^{2} + 9 x - 5

, và ta muốn tìm các ước của

2 \cdot (- 5) = - 10

có tổng bằng

9

Vì

(- 1) \cdot 10 = - 10

và

(- 1) + 10 = 9

, câu trả lời là có.

Vậy bây giờ ta có thể viết hạng tử ở giữa thành

- 1 x + 10 x

và dùng phương pháp nhóm hạng tử:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Phân tích hạng tử ở giữa \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Nhóm hạng tử \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Rút nhân tử chung \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Đặt nhân tử chung là 2 x - 1 \end{aligned}

Bài tập vận dụng

1) Phân tích $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ một cách hoàn toàn.

2) Phân tích $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ một cách hoàn toàn.

3) Phân tích $72 x^{2} - 2$ ‍ một cách hoàn toàn.

4) Phân tích $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ một cách hoàn toàn.

5) Phân tích $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ một cách hoàn toàn.

6) Phân tích $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ một cách hoàn toàn.

7) Phân tích $3 x^{2} + 27$ ‍ một cách hoàn toàn.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 27 \\ = 3 (x^{2} + 9) & Tách 3 ra \end{aligned}

Không thể phân tích

x^{2} + 9

tiếp nữa.

Ta có thể kiểm tra lại việc này bằng cách viết đa thức dưới dạng

x^{2} + 0 x + 9

. Vì không có hai số nào có tích là

9

và có tổng là

0

, ta không thể phân tích đa thức này.

Có một cách khác để kiểm tra là

x^{2} + 9

là một tổng của hai bình phương, không phải hiệu của hai bình phương. Một tổng của hai bình phương thể phân tích được trong tập hợp số thực.

Bạn muốn tham gia vào cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài viết nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Những điều cần biết trong bài học này:

Mục tiêu bài học

Mở đầu: Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử

Liên kết những gì đã học

Phân tích đa thức bậc hai

Ví dụ 1: Phân tích 5x2−80‍ thành nhân tử

Ví dụ 2: Phân tích 4x2+12x+9‍ thành nhân tử

Ví dụ 3: Phân tích 12x−63+3x2‍ thành nhân tử

Ví dụ 4: Phân tích 4x2+18x−10‍ thành nhân tử

Bài tập vận dụng

Bạn muốn tham gia vào cuộc thảo luận?

Ví dụ 1: Phân tích $5 x^{2} - 80$ ‍ thành nhân tử

Ví dụ 2: Phân tích $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ thành nhân tử

Ví dụ 3: Phân tích $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ thành nhân tử

Ví dụ 4: Phân tích $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ thành nhân tử