If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang sử dụng bộ lọc web, vui lòng kiểm tra lại xem bộ lọc có chặn hai tên miền *.kastatic.org*.kasandbox.org hay không.

Nội dung chính

Phân tích đa thức bậc 2 thành nhân tử: hệ số cao nhất = 1

Học cách phân tích các đa thức bậc 2 thành tích của các đa thức bậc nhất. Ví dụ,  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Những điều cần biết trong bài học này:

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Để hiểu thêm về điều này, bạn hãy xem lại bài học trước về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Mục tiêu bài học

Trong bài này, bạn sẽ học cách phân tích đa thức dạng x2+bx+c thành tích của hai đa thức.

Ôn lại: Nhân đa thức

Xét biểu thức (x+2)(x+4).
Ta có thể tìm tích bằng cách áp dụng tính chất phân phối nhiều lần.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8
Vậy ta có (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Từ đây, ta có x+2x+4 là hai nhân tử của x2+6x+8. Tuy nhiên, làm cách nào để ta có thể tìm được các nhân tử nếu chúng ta không biết chúng từ ban đầu?

Phân tích đa thức

Ta có thể đảo ngược phép nhân các đa thức chứa 2 đơn thức phía trên để phân tích một đa thức có 3 hạng tử.
Nói cách khác, nếu chúng ta có đa thức x2+6x+8, ta có thể phân tích đa thức đó thành tích của hai đa thức, (x+2)(x+4).
Hãy xem thêm một số ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1: Phân tích x2+5x+6

Để phân tích x2+5x+6, ta cần tìm hai số nguyên có tích là 6 (hằng số) và có tổng là 5 (hệ số của x).
Hai số nguyên này là 2323=62+3=5.
Sau đó, ta cộng các số nguyên này với x để tạo thành hai đa thức: (x+2)(x+3).
Vậy, ta phân tích đa thức đã cho như sau:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Để kiểm tra lại kết quả, ta có thể nhân hai đa thức chứa hai hạng tử với nhau:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Vì tích của x+2x+3 bằng x2+5x+6, nên ta đã làm đúng!

Bài tập vận dụng

1) Phân tích x2+7x+10.
Chọn 1 đáp án:

2) Phân tích x2+9x+20.

Hãy tìm hiểu thêm một vài ví dụ sau đây.

Ví dụ 2: Phân tích x25x+6

Để phân tích x25x+6, ta cần tìm hai số nguyên có tích là 6 và tổng là 5.
Hai số nguyên này là 23(2)(3)=6(2)+(3)=5.
Sau đó, ta cộng các số nguyên này với x để tạo thành hai đa thức: (x+(2))(x+(3)).
Đáp án đúng là:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Lưu ý: Cả hai số nguyên được dùng để phân tích x25x+6 đều là số nguyên âm (23). Điều này sẽ xảy ra nếu tích của chúng là số dương (6) và tổng của chúng là số âm (5).
Thông thường, khi phân tích x2+bx+c, nếu c là số dương và b là số âm, cả hai nhân tử sẽ đều là số âm.

Ví dụ 3: Phân tích x2x6

Ta có thể viết lại x2x6 thành x21x6.
Để phân tích x21x6, ta cần tìm hai số nguyên có tích là 6 và tổng là 1.
Hai số nguyên này là 23(2)(3)=62+(3)=1.
Sau đó, ta cộng các số nguyên này với x để tạo thành hai đa thức: (x+2)(x+(3)).
Đáp án đúng là:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Lưu ý: Trong hai số nguyên được dùng để phân tích x2x6, một là số nguyên dương (2) và một là số nguyên âm (3). Điều này sẽ xảy ra nếu tích của chúng là số âm (6).
Thông thường, khi phân tích x2+bx+c, nếu c là số âm, một trong hai nhân tử sẽ là số âm.

Tổng kết

Tổng kết lại, để phân tích một đa thức dạng x2+bx+c, ta cần tìm các ước của c có tổng bằng b.
Giả sử hai số cần tìm là mn sao cho c=mnb=m+n, vậy: x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Bài tập vận dụng

3) Phân tích x28x9.

4) Phân tích x210x+24.

5) Phân tích x2+7x30.

Tại sao ta có thể làm như vậy?

Để hiểu vì sao phương pháp này có hiệu quả, hãy quay về ví dụ ban đầu là phân tích x2+5x+6 thành (x+2)(x+3).
Nếu ta làm ngược lại và nhân hai đa thức, ta có thể thấy tác động của 23 lên việc tạo thành tích x2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Ta có thể thấy hệ số của hạng tử bậc một là tổng của 23, trong khi hằng số bằng tích của 23.

Dạng tổng-tích

Nếu ta lặp lại cách nhân biểu thức (x+2)(x+3) với biểu thức (x+m)(x+n), ta có:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Suy ra, ta có công thức như sau:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Công thức này được gọi là dạng tổng-tích.
Quy tắc này được chứng minh khi ta viết đa thức chứa ba hạng tử x2+bx+c thành x2+(m+n)x+mn (ta cần tìm hai số nguyên mn có tổng là b=m+n và tích là c=mn), ta có thể phân tích đa thức đó thành (x+m)(x+n).

Câu hỏi tư duy

6) Ta có thể dùng dạng tổng-tích để phân tích 2x2+3x+1 thành nhân tử được hay không?
Chọn 1 đáp án:

Những điều kiện để sử dụng dạng tổng-tích

Ta chỉ có thể sử dụng dạng tổng-tích khi ta có thể biểu diễn đa thức dưới dạng (x+m)(x+n) với hai số nguyên là mn.
Điều này nghĩa là đơn thức có bậc cao nhất phải là x2 (và không phải, chẳng hạn, 2x2) để có thể thực hiện phương pháp này. Đó là vì tích của (x+m)(x+n) luôn là một đa thức có đơn thức có bậc cao nhất là x2.
Tuy nhiên, không phải mọi đa thức với đơn thức có bậc cao nhất là x2 đều có thể được phân tích theo phương pháp này. Ví dụ, x2+2x+2 không thể được phân tích theo cách này vì không tồn tại hai số nguyên có tổng và tích cùng bằng 2.
Trong những bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu thêm nhiều cách phân tích các dạng đa thức khác.

Bài tập nâng cao

7*) Phân tích x2+5xy+6y2.

8*) Phân tích x45x2+6.

Tham gia cuộc thảo luận?

Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.