If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Bài học 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Toán
Toán lớp 8 (Việt Nam)
Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Phân tích đa thức bậc 2 thành nhân tử: hệ số cao nhất = 1

Google Classroom
Học cách phân tích các đa thức bậc 2 thành tích của các đa thức bậc nhất. Ví dụ,  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Những điều cần biết trong bài học này:

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Để hiểu thêm về điều này, bạn hãy xem lại bài học trước về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Mục tiêu bài học

Trong bài này, bạn sẽ học cách phân tích đa thức dạng x, squared, plus, b, x, plus, c thành tích của hai đa thức.

Ôn lại: Nhân đa thức

Xét biểu thức left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Ta có thể tìm tích bằng cách áp dụng tính chất phân phối nhiều lần.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}(x)+\tealD{(x+2)}(4)\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}
Vậy ta có left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
Từ đây, ta có x, plus, 2 và x, plus, 4 là hai nhân tử của x, squared, plus, 6, x, plus, 8. Tuy nhiên, làm cách nào để ta có thể tìm được các nhân tử nếu chúng ta không biết chúng từ ban đầu?

Phân tích đa thức

Ta có thể đảo ngược phép nhân các đa thức chứa 2 đơn thức phía trên để phân tích một đa thức có 3 hạng tử.
Nói cách khác, nếu chúng ta có đa thức x, squared, plus, 6, x, plus, 8, ta có thể phân tích đa thức đó thành tích của hai đa thức, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Hãy xem thêm một số ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1: Phân tích x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Để phân tích x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, ta cần tìm hai số nguyên có tích là start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (hằng số) và có tổng là start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (hệ số của x).
Hai số nguyên này là start color #11accd, 2, end color #11accd và start color #1fab54, 3, end color #1fab54 vì start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 và start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
Sau đó, ta cộng các số nguyên này với x để tạo thành hai đa thức: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis và left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Vậy, ta phân tích đa thức đã cho như sau:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Để kiểm tra lại kết quả, ta có thể nhân hai đa thức chứa hai hạng tử với nhau:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Vì tích của x, plus, 2 và x, plus, 3 bằng x, squared, plus, 5, x, plus, 6, nên ta đã làm đúng!

Bài tập vận dụng

1) Phân tích x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Chọn 1 đáp án:

2) Phân tích x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

Hãy tìm hiểu thêm một vài ví dụ sau đây.

Ví dụ 2: Phân tích x, squared, minus, 5, x, plus, 6

Để phân tích x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, ta cần tìm hai số nguyên có tích là start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff và tổng là start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Hai số nguyên này là start color #11accd, minus, 2, end color #11accd và start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 vì left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 và left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Sau đó, ta cộng các số nguyên này với x để tạo thành hai đa thức: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis và left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Đáp án đúng là:
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Lưu ý: Cả hai số nguyên được dùng để phân tích x, squared, minus, 5, x, plus, 6 đều là số nguyên âm left parenthesis, minus, 2 và minus, 3, right parenthesis. Điều này sẽ xảy ra nếu tích của chúng là số dương left parenthesis, 6, right parenthesis và tổng của chúng là số âm left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
Thông thường, khi phân tích x, squared, plus, b, x, plus, c, nếu c là số dương và b là số âm, cả hai nhân tử sẽ đều là số âm.

Ví dụ 3: Phân tích x, squared, minus, x, minus, 6

Ta có thể viết lại x, squared, minus, x, minus, 6 thành x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
Để phân tích x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, ta cần tìm hai số nguyên có tích là start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff và tổng là start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
Hai số nguyên này là start color #11accd, 2, end color #11accd và start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 vì left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 và start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
Sau đó, ta cộng các số nguyên này với x để tạo thành hai đa thức: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis và left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Đáp án đúng là:
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Lưu ý: Trong hai số nguyên được dùng để phân tích x, squared, minus, x, minus, 6, một là số nguyên dương left parenthesis, 2, right parenthesis và một là số nguyên âm left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Điều này sẽ xảy ra nếu tích của chúng là số âm left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
Thông thường, khi phân tích x, squared, plus, b, x, plus, c, nếu c là số âm, một trong hai nhân tử sẽ là số âm.

Tổng kết

Tổng kết lại, để phân tích một đa thức dạng x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, ta cần tìm các ước của start color #aa87ff, c, end color #aa87ff có tổng bằng start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Giả sử hai số cần tìm là m và n sao cho c, equals, m, n và b, equals, m, plus, n, vậy: x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Bài tập vận dụng

3) Phân tích x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) Phân tích x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) Phân tích x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

Tại sao ta có thể làm như vậy?

Để hiểu vì sao phương pháp này có hiệu quả, hãy quay về ví dụ ban đầu là phân tích x, squared, plus, 5, x, plus, 6 thành left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Nếu ta làm ngược lại và nhân hai đa thức, ta có thể thấy tác động của start color #11accd, 2, end color #11accd và start color #1fab54, 3, end color #1fab54 lên việc tạo thành tích x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Ta có thể thấy hệ số của hạng tử bậc một là tổng của start color #11accd, 2, end color #11accd và start color #1fab54, 3, end color #1fab54, trong khi hằng số bằng tích của start color #11accd, 2, end color #11accd và start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

Dạng tổng-tích

Nếu ta lặp lại cách nhân biểu thức left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis với biểu thức left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, ta có:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Suy ra, ta có công thức như sau:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Công thức này được gọi là dạng tổng-tích.
Quy tắc này được chứng minh khi ta viết đa thức chứa ba hạng tử x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff thành x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (ta cần tìm hai số nguyên start color #11accd, m, end color #11accd và start color #1fab54, n, end color #1fab54 có tổng là start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 và tích là start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), ta có thể phân tích đa thức đó thành left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Câu hỏi tư duy

6) Ta có thể dùng dạng tổng-tích để phân tích 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1 thành nhân tử được hay không?
Chọn 1 đáp án:

Những điều kiện để sử dụng dạng tổng-tích

Ta chỉ có thể sử dụng dạng tổng-tích khi ta có thể biểu diễn đa thức dưới dạng left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis với hai số nguyên là m và n.
Điều này nghĩa là đơn thức có bậc cao nhất phải là x, squared (và không phải, chẳng hạn, 2, x, squared) để có thể thực hiện phương pháp này. Đó là vì tích của left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis và left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis luôn là một đa thức có đơn thức có bậc cao nhất là x, squared.
Tuy nhiên, không phải mọi đa thức với đơn thức có bậc cao nhất là x, squared đều có thể được phân tích theo phương pháp này. Ví dụ, x, squared, plus, 2, x, plus, 2 không thể được phân tích theo cách này vì không tồn tại hai số nguyên có tổng và tích cùng bằng 2.
Trong những bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu thêm nhiều cách phân tích các dạng đa thức khác.

Bài tập nâng cao

7*) Phân tích x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) Phân tích x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.