Ôn tập tính nguyên hàm và tích phân từng phần

Quy tắc tính nguyên hàm từng phần giúp ta tính nguyên hàm của tích các hàm số:

Quy tắc rút gọn được viết là:

Quy tắc này là quy tắc "ngược với quy tắc tính đạo hàm của tích". Ta đặt một trong hai hàm số nhân tử là đạo hàm của một hàm số khác. Tương tự với quy tắc tính tích phân từng phần. Ta thêm các cận trên và cận dưới để tính kết quả cuối cùng.

Tính${\displaystyle \int x\cos xdx}$‍. Để giải bài toán, ta đặt $u=x$‍ và $dv=\cos (x)dx$‍:

$u=x$‍ suy ra $du=dx$‍.
$dv=\cos (x)dx$‍, ta giả sử $v=\sin (x)$‍.

Áp dụng quy tắc tính, ta có:

Ta có thể kiểm tra kết quả bằng cách tính đạo hàm của kết quả thu được.

Tính ${\displaystyle {\int }_0^{5}x{e}^{-x}dx}$‍. Để giải bài toán, ta đặt $u=x$‍ và $dv=e^{-x}dx$‍:

$u=x$‍ suy ra $du=dx$‍.
$dv=e^{-x}dx$‍ suy ra $v=-e^{-x}$‍.

Áp dụng quy tắc tính, ta có: