Ôn tập tính nguyên hàm và tích phân từng phần

Quy tắc tính nguyên hàm từng phần giúp ta tính nguyên hàm của tích các hàm số:

Quy tắc rút gọn được viết là:

Quy tắc này là quy tắc "ngược với quy tắc tính đạo hàm của tích". Ta đặt một trong hai hàm số nhân tử là đạo hàm của một hàm số khác. Tương tự với quy tắc tính tích phân từng phần. Ta thêm các cận trên và cận dưới để tính kết quả cuối cùng.

Tính$\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. Để giải bài toán, ta đặt $u = x$u, equals, x và $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:

$u=x$u, equals, x suy ra $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, ta giả sử $v = \sin(x)$v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Áp dụng quy tắc tính, ta có:

Ta có thể kiểm tra kết quả bằng cách tính đạo hàm của kết quả thu được.

Tính $\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. Để giải bài toán, ta đặt $u = x$u, equals, x và $dv=e^{-x} \,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:

$u=x$u, equals, x suy ra $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=e^{-x}\,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x suy ra $v = -e^{-x}$v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.

Áp dụng quy tắc tính, ta có: