If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 12 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 12 (Việt Nam) > Chương 3

Bài học 2: Tích phân
Toán
Toán lớp 12 (Việt Nam)
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Tích phân
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Tìm hiểu về sự tích lũy

Google Classroom
Tích phân xác định được hiểu là sự tích lũy của các đại lượng. Tại sao khái niệm này lại được hiểu như vậy? Làm sao ta có thể áp dụng khái niệm này vào các tình huống thực tế?
Tích phân xác định có thể được dùng để biểu diễn thông tin về sự tích lũy và sự thay đổi ròng trong một số tình huống. Hãy cùng tìm hiểu cách áp dụng tích phân xác định vào tình huống thực tế.

Tìm hiểu về sự tích lũy trong một tình huống thực tế

Hãy tưởng tượng một bể nước đang được xả đầy với tốc độ là start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, p, h, u, with, \', on top, t, end text, end color #11accd (lít trên phút) trong start color #ca337c, 6, start text, space, p, h, u, with, \', on top, t, end text, end color #ca337c. Chúng ta có thể tìm thể tích nước (đơn vị start text, L, end text) bằng cách nhân thời gian chảy với tốc độ chảy:
Thể tıˊch=Thời gian×Toˆˊc độ=6 phuˊt⋅5 Lphuˊt=30phuˊt⋅Lphuˊt=30 L\begin{aligned} \text{Thể tích}&=\maroonD{\text{Thời gian}}\times\blueD{\text{Tốc độ}} \\ &=\maroonD{6\,\text{phút}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{L}}{\text{phút}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{phút}}\cdot\text{L}}{\cancel{\text{phút}}} \\ &=30\,\text{L} \end{aligned}
Giờ hãy xem xét tình huống này dưới dạng đồ thị. Tốc độ chảy có thể được biểu diễn bằng hàm hằng r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Hàm số r, start subscript, 1, end subscript được biểu diễn trên đồ thị. Thời gian tính bằng phút được đặt làm trục hoành, từ 0 tới 10. Tốc độ chảy tính bằng lít trên phút được đặt làm trục tung. Đồ thị là một đường thẳng. Đường thẳng bắt đầu tại điểm có tọa độ (0, 5), kéo dài về phía bên phải và kết thúc ở điểm có tọa độ (10, 5).
Trục hoành biểu diễn đơn vị phút và trục tung biểu diễn đơn vị lít trên phút, như vậy mỗi hình vuông sẽ biểu diễn đơn vị lít.
start underbrace, start text, p, h, u, with, \', on top, t, end text, end underbrace, start subscript, start text, c, h, i, e, with, \^, on top, with, \`, on top, u, space, r, ộ, n, g, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, p, h, u, with, \', on top, t, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, c, h, i, e, with, \^, on top, with, \`, on top, u, space, c, a, o, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, L, end text, end underbrace, start subscript, start text, d, i, ệ, n, space, t, ı, with, \', on top, c, h, end text, end subscript
Một hình vuông đại diện cho một đơn vị trên đồ thị. Độ rộng theo trục hoành biểu diễn số phút và độ cao theo trục tung biểu diễn số lít trên phút. Phần diện tích của hình vuông biểu diễn số lít. Phương trình để tính diện tích là chiều rộng nhân chiều cao = diện tích, hay phút nhân lít trên phút = lít.
Bên cạnh đó, phần diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi đồ thị của r, start subscript, 1, end subscript và trục hoành trong khoảng t, equals, 0 và t, equals, 6 cho chúng ta biết thể tích nước sau 6 phút:
Hàm số r, start subscript, 1, end subscript biểu diễn trên đồ thị. Phần diện tích hình chữ nhật dưới đường thẳng được tô đậm. Phần diện tích kéo dài trong khoảng từ 0 tới 6 phút và từ 0 tới 5 lít trên phút . Phần diện tích của hình chữ nhật được tính là 6 phút nhân 5 lít trên phút = 30 lít.
Hãy tưởng tượng một bể nước khác cũng đang được xả đầy nhưng lần này với tốc độ xả không đều:
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, sine, left parenthesis, 0, comma, 3, t, right parenthesis
Hàm số r, start subscript, 2, end subscript được biểu diễn bằng đồ thị. Thời gian được tính bằng phút trên trục hoành, từ 0 tới 10. Tốc độ chảy tính bằng lít trên phút trên trục tung. Đồ thị là một đường cong. Đường cong bắt đầu từ điểm có tọa độ (0, 0), di chuyển hướng lên và lõm xuống tại điểm có tọa độ khoảng (5,2, 6), tiếp tục lõm xuống và kết thúc tại điểm có tọa độ khoảng (10, 0,8).
Làm cách nào ta có thể tính được thể tích nước ở trong bể này sau 6 phút? Ta hãy áp dụng tổng Riemann để tính diện tích gần đúng của vùng dưới đường cong trong khoảng từ t, equals, 0 đến t, equals, 6. Để dễ dàng tính toán hơn, ta hãy dựng hình chữ nhật có chiều rộng là 1 đơn vị (phút).
Hàm số r, start subscript, 2, end subscript được biểu diễn trên đồ thị. sáu thanh hình chữ nhật, mỗi thanh đại diện cho 1 đơn vị (phút), dần được tăng lên theo trục tung từ trục hoành tới phần đường cong trong khoảng từ 0 tới 6 phút. Mỗi thanh được nâng lên sao cho phần đỉnh trên bên phải chạm vào đường cong. Phần đỉnh trên bên trái của năm thanh trong khoảng từ 0 tới 5 nằm ngoài đường cong. Mỗi thanh chữ nhật có ít phần ở bên ngoài đường cong hơn thanh trước. Thanh thứ 6 nằm hoàn toàn trong đường cong. Từ trái sang phải, mỗi thanh chữ nhật có chiều cao xấp xỉ là 1,8, 3,4, 4,7, 5,6, 6, 5,9.
Ta thấy mỗi hình chữ nhật biểu diễn một phần thể tích tính bằng lít. Cụ thể, mỗi hình chữ nhật trong tổng Riemann này có giá trị diện tích xấp xỉ thế tích nước được xả vào bể trong mỗi phút. Tổng hoặc tích lũy diện tích của tát cả các hình chữ nhật phần diện tích là giá trị gần đúng của thể tích nước sau 6 phút.
Dựng càng nhiều hình chữ nhật với chiều rộng càng nhỏ thì kết quả cho được càng gần với thể tích thực tế. Nếu ta dựng vô số hình chữ nhật rồi tìm tổng diện tích các hình chữ nhật đó, vậy tổng diễn tích sẽ biểu diễn được dưới dạng tích phân xác định integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Có nghĩa là thể tích nước chính xác sau 6 phút bằng diện tích của vùng được giới hạn bởi đồ thị r, start subscript, 2, end subscript và trục hoành trong khoảng từ t, equals, 0 đến t, equals, 6 .
Hàm số r, start subscript, 2, end subscript được biểu diễn bằng đồ thị. Phần diện tích giữa đường cong và trục t, trong khoảng t = 1 và t = 6, được tô đậm.
Như vậy, bằng cách áp dụng tích phân, ta đã tính được thể tích nước sau 6 phút:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, L, end text

Tích phân xác định: tốc độ thay đổi của một đại lượng cho ta biết sự thay đổi ròng của đại lượng đó.

Trong ví dụ chúng ta vừa thấy, ta đã biểu diễn tốc độ, cụ thể là tốc độ nước chảy trong một phút, dưới dạng một hàm số. Dựa vào tích phân xác định của hàm số đó, ta biết được sự tích lũy hoặc tổng thể tích nước - đại lượng có tốc độ được cho trước.
Một đặc điểm quan trọng nữa ở đây là phần chênh lệch thời gian của một tích phân xác định. Trong tình huống của chúng ta, phần chênh lệch thời gian là phần ban đầu left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis và 6 phút sau left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Vậy tích phân xác định này cho ta sự tổng thay đổi của lượng nước trong bể giữa t, equals, 0 và t, equals, 6.
Tích phân xác định thường được định nghĩa như sau: tích phân xác định cho biết sự tích lũy của một đại lượng, dựa vào đó, ta cũng biết được sự thay đổi ròng của đại lượng đó.

Tại sao lại là sự "thay đổi ròng" của một đại lượng mà không phải là giá trị của đại lượng đó?

Quay lại ví dụ trên, ta không biết là trong bể có nước trước t, equals, 0 hay không. Nếu bể nước không có nước, thì integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, L, end text là tổng lượng nước thực tế có trong bể sau 6 phút. Nhưng nếu trong bể đã có nước, giả sử là 7 lít nước, thì thể tích nước thực tế có trong bể sau 6 phút sẽ là:
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, T, h, ể, space, t, ı, with, \', on top, c, h, space, k, h, i, space, end text, t, equals, 0, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, S, ự, space, t, h, a, y, space, đ, ổ, i, space, t, h, ể, space, t, ı, with, \', on top, c, h, space, t, r, o, n, g, space, k, h, o, ả, n, g, space, t, ừ, space, end text, t, equals, 0, start text, space, t, ớ, i, space, end text, t, equals, 6, end superscript
Kết quả gần đúng là 7, plus, 24, point, 5, equals, 31, point, 5, start text, space, L, end text.
Ghi nhớ: Một tích phân xác định cho ta biết thay đổi tổng ròng của một đại lượng, không phải giá trị thực sự của đại lượng đó. Để tìm ra giá trị thực sự của đại lượng, ta cần thêm điều kiện ban đầu vào tích phân xác định.
Bài 1.A
  • Hiện tại
Dạng bài 1 sẽ cung cấp hướng dẫn cụ thể cách phân tích một tình huống có yếu tố tích lũy:
Tại thời điểm t, một quần thể vi khuẩn sinh trưởng với tốc độ r, left parenthesis, t, right parenthesis gam trên ngày, với t là đơn vị ngày.
Hàm số r được biểu diễn trên đồ thị. Thời gian tính bằng ngày được biểu diễn trên trục hoành, trong khoảng từ 0 tới 10. Sự sinh trưởng được tính bằng gam trên ngày được biểu diễn trên trục tung. Đồ thị là một đường cong. Đường cong bắt đầu tại điểm có tọa độ (0, 1), di chuyển hướng lên dần và lõm tới điểm có tọa độ (8, 5) và kết thúc tại điểm có tọa độ khoảng (10, 7,3). Phần diện tích giữa đường cong và trục hoành, trong khoảng t = 0 và t = 8 được tô đậm.
Đáp án nào sau đây là đơn vị của đại lượng được biểu diễn bởi tích phân xác định integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Chọn 1 đáp án:

Lỗi thường gặp: Sử dụng sai đơn vị

Đơn vị đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Hãy nhớ rằng nếu hàm số biểu diễn tốc độ r được viết là start fraction, start color #11accd, start text, Đ, ạ, i, space, l, ư, ợ, n, g, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, Đ, ạ, i, space, l, ư, ợ, n, g, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, thì tích phân xác định của nó được tính theo start color #11accd, start text, Đ, ạ, i, space, l, ư, ợ, n, g, space, A, end text, end color #11accd.
Ví dụ, trong dạng Bài 1, r bằng start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, n, g, a, with, \`, on top, y, end text, end color #ca337c, end fraction, và do vậy tích phân xác định của r được tính bằng start color #11accd, start text, g, r, a, m, end text, end color #11accd.
Bài 2
Yến đi bộ với tốc độ r, left parenthesis, t, right parenthesis ki-lô-mét mỗi giờ (t là đơn vị giờ).
integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6 cho biết điều gì?
Chọn 1 đáp án:

Lỗi thường gặp: Nhầm lẫn về khoảng giá trị của tích phân

Cho mọi hàm số r, tích phân xác định integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t cho biết sự tích lũy của các giá trị hàm số từ t, equals, a đến t, equals, b.
Một lỗi thường gặp là người giải quên một trong hai giới hạn (thường là giới hạn ở dưới), dẫn đến việc giải sai bài toán.
Ví dụ, trong Bài 2, nhận định integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t là quãng đường Yến đi trong 3 giờ là sai. Phần giới hạn dưới là 2, nên integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t là quãng đường Yến đi từ tiếng thứ 2, start superscript, start text, end text, end superscript đến tiếng thứ 3, start superscript, start text, end text, end superscript. Bên cạnh đó, trong trường hợp khoảng chênh lệch thời gian bằng đúng một đơn vị, ta có thể nói: "Đó là quãng đường Yến đi trong tiếng đồng hồ thứ 3."
Bài 3
Doanh thu của Dương là r, left parenthesis, t, right parenthesis ngàn đô la mỗi tháng (trong đó t là tháng của năm). Dương kiếm được 3 ngàn đô la vào tháng đầu tiên của năm.
3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19 cho biết điều gì?
Chọn 1 đáp án:

Lỗi thường gặp: Quên điều kiện ban đầu

Cho hàm tỷ lệ f và nguyên hàm F, tích phân xác địnhintegral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t cho biết thay đổi ròng của F từ t, equals, a đến t, equals, b. Nếu ta thêm điều kiện ban đầu, ta sẽ thu được giá trị thực của F.
Ví dụ, ở Bài 3, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t biểu diễn sự thay đổi trong doanh thu của Dương từ tháng thứ 1, start superscript, start text, end text, end superscript đến tháng thứ 5, start superscript, start text, end text, end superscript. Nhưng ta thêm 3 vào vì đây là doanh thu mà Dương đã có từ tháng thứ 1, start superscript, start text, s, t, end text, end superscript, vậy nên biểu thức bây giờ biểu diễn tổng số tiền Dương có ở tháng thứ 5, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript.

Kết hợp việc áp dụng dụng tốc độ thay đổi

Trong phép tính vi phân, chúng ta biết rằng đạo hàm f, prime của hàm số f cho biết tốc độ thay đổi tức thời của f tại một điểm cho trước. Ngược lại, với bất kì hàm tốc độ f nào, nguyên hàm F sẽ biểu diễn giá trị tích lũy mà tốc độ của sự tích lũy ấy được biểu diễn bởi f.
Đại lượngCông suất
Vi phânf, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Tích phânF, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
Bài 4
Hàm k, left parenthesis, t, right parenthesis cho biết lượng sốt cà chua (đơn vị ki-lô-gam) được sản xuất ở nhà máy trong t (giờ) trong một ngày bất kỳ.
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t cho biết điều gì?
Chọn 1 đáp án:

Muốn luyện tập thêm? Hãy giải bài tập sau.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.