Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 3

Bài học 2: Phép tính lôgarit

Giới thiệu về Lôgarit

Tìm hiểu về lôgarit và phép tính lôgarit.

Kiến thức cần nắm vững

Trước khi bắt đầu bài học này, bạn hãy chắc chắn mình đã nắm được kiến thức về số mũ âm.

Mục tiêu bài học

Chúng ta sẽ học về khái niệm lôgarit và cách tính lôgarit, từ đó chuẩn bị kiến thức nền cho các bài học sau liên quan đến biểu thức và hàm lôgarit.

Lôgarit là gì?

Lôgarit là phép toán nghịch đảo của lũy thừa.

Ví dụ, ta có cơ số

2

nâng lên lũy thừa

4^{}

bằng

16

. Điều này được thể hiện bằng phép tính lũy thừa

2^{4} = 16

Giả sử, đề bài hỏi "

2

mũ mấy bằng

16

?". Chúng ta biết câu trả lời là

4

và điều này được thể hiện bởi phép tính lôgarit

\log_{2} 16 = 4

, đọc là "lôgarit cơ số hai của mười sáu bằng bốn".

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} 16 = 4

Cả hai phép tính đều thể hiện cùng một mối liên hệ giữa các số

2

4

và

16

, trong đó

2

là cơ số và

4

là số mũ.

Điểm khác nhau giữa hai phép tính này là dạng lũy thừa sẽ cho ra kết quả của phép lũy thừa,

16

, còn dạng lôgarit cho ta biết số mũ để thực hiện phép lũy thừa đó,

4

Dưới đây là một số ví dụ về phép tính lôgarit và phép tính lũy thừa tương đương.

Dạng lôgarit		Dạng lũy thừa
$\log_{2} 8 = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} 81 = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} 25 = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Định nghĩa lôgarit

Khái quát các ví dụ trên, chúng ta có định nghĩa lôgarit như sau:

\log_{b} a = c ⟺ b^{c} = a

Cả hai phép tính đều miêu tả cùng một mối quan hệ giữa

a

b

và

c

, trong đó:

$b$ ‍ là $cơ số$ ‍,
$c$ ‍ là $số mũ$ ‍ và
$a$ ‍ là $đối số$ ‍.

Lưu ý:

Nếu bạn viết lại phép tính lũy thừa dưới dạng lôgarit hoặc phép tính lôgarit dưới dạng lũy thừa thì cơ số của hai phép tính phải giống nhau.

Bài tập vận dụng

Với các bài toán bên dưới, chúng ta luyện tập chuyển dạng phép tính lũy thừa về dạng phép tính lôgarit và ngược lại.

Bài 1

Phép tính nào tương đương với $2^{5} = 32$ ‍?

Bài 2

Phép tính nào tương đương với $5^{3} = 125$ ‍?

Bài 3

Viết lại $\log_{2} 64 = 6$ ‍ dưới dạng phép tính lũy thừa.

Bài 4

4) Viết lại $\log_{4} 16 = 2$ ‍ dưới dạng phép tính lũy thừa.

Tính lôgarit

Chúng ta đã hiểu được mối quan hệ giữa phép lũy thừa và lôgarit. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hành tính lôgarit.

Ví dụ, tính

\log_{4} 64

Đầu tiên, ta đặt biểu thức bằng

x

\log_{4} 64 = x

Tiếp theo, ta viết lại phép tính trên dưới dạng phép tính lũy thừa:

4^{x} = 64

Cuối cùng, hãy trả lời câu hỏi: Cơ số

4

nâng lên lũy thừa bao nhiêu sẽ được

64

? Đáp án của chúng ta là

4^{3} = 64

hay

\log_{4} 64 = 3

Khi đã quen với các dạng bài tập này, bạn có thể bỏ qua các bước ở giữa và trả lời luôn câu hỏi ở bước cuối cùng "Cơ số $4$ ‍ nâng lên lũy thừa bao nhiêu thì bằng $64$ ‍?" để tìm ra

\log_{4} 64

Bài tập vận dụng

Khi tính

\log_{b} a

, bạn hãy trả lời câu hỏi: "Cơ số

b

nâng lên lũy thừa bao nhiêu thì bằng

a

Bài 5

\log_{6} 36 =

Bài 6

\log_{3} 27 =

Bài 7

\log_{4} 4 =

Bài 8

\log_{5} 1 =

Bài tập nâng cao

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

Điều kiện của các biến số

\log_{b} a

được xác định khi cơ số

b

dương và không bằng

1

, đối số

a

dương. Những điều kiện này là kết quả liên hệ giữa khái niệm lôgarit và phép lũy thừa.

Điều kiện	Lý giải
$b > 0$ ‍	Trong một hàm số mũ, cơ số $b$ ‍ luôn dương.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} a = c$ ‍ nghĩa là $b^{c} = a$ ‍. Vì một số dương nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ đều cho kết quả dương, tức là $b^{c} > 0$ ‍, nên $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	Giả sử, $b$ ‍ có thể bằng $1$ ‍. Xét phương trình $\log_{1} 3 = x$ ‍. Phương trình mũ tương đương là $1^{x} = 3$ ‍. Nhưng điều này không bao giờ đúng vì $1$ ‍ nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ đều bằng $1$ ‍. Vậy, $b \neq 1$ ‍.

Lôgarit đặc biệt

Cơ số của một lôgarit có thể là một số thực dương bất kỳ và khác

1

. Trong đó, ta thường gặp lôgarit với hai cơ số dưới đây.

Hầu hết các máy tính cầm tay sẽ có nút riêng cho hai loại lôgarit này.

Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit có cơ số bằng

10

("lôgarit cơ số

10

").

Khi viết loại lôgarit này, chúng ta có thể không viết cơ số và tự động hiểu là cơ số sẽ bằng

10

\log_{10} x = \log x

Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên là lôgarit có cơ số là

e

("lôgarit cơ số

e

").

Thay vì viết cơ số

e

, ta viết ký hiệu lôgarit thành

\ln

\log_{e} x = \ln x

Dưới đây là bảng tóm tắt kiến thức về hai dạng lôgarit đặc biệt:

Tên	Cơ số	Ký hiệu thường	Ký hiệu đặc biệt
Lôgarit thập phân	$10$ ‍	$\log_{10} x$ ‍	$\log x$ ‍
Lôgarit tự nhiên	$e$ ‍	$\log_{e} x$ ‍	$\ln x$ ‍

Mặc dù hai loại lôgarit này sử dụng ký hiệu khác nhau, nhưng ý nghĩa của cách tính các lôgarit này là hoàn toàn giống nhau!

Ta có hai ví dụ với cách giải như sau.

Ví dụ 1

Tính

\log 100

Cách giải ví dụ 1

Theo định nghĩa,

\log 100 = \log_{10} 100

Cơ số

10

nâng lên lũy thừa bao nhiêu thì bằng

100

10^{2} = 100

, vậy

\log 100 = 2

Ví dụ 2

Tính

\ln (e^{3})

Cách giải 2

Theo định nghĩa,

\ln e^{3} = \log_{e} e^{3}

Cơ số

e

nâng lên lũy thừa bao nhiêu thì bằng

e^{3}

e^{3} = e^{3}

, vậy

\ln e^{3} = 3

Tại sao chúng ta phải học lôgarit?

Thông qua những bài tập vừa làm, chúng ta có thể thấy lôgarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Vì lý do này, lôgarit rất hữu ích cho việc giải các phương trình mũ.

Ví dụ, nghiệm của phương trình mũ

2^{x} = 5

có thể được ghi dưới dạng lôgarit là

x = \log_{2} 5

. Chúng ta học thêm về các phép toán và phương trình lôgarit ở những bài học sau.

Bên cạnh đó, các biểu thức và hàm lôgarit cũng được ứng dụng rất nhiều trong thế giới xung quanh chúng ta, trong đó có nhiều hiện tượng vật lý được đo bằng thang đo lôgarit.

Nội dung tiếp theo

Chúng ta sẽ học về tính chất của lôgarit để biết cách viết lại biểu thức lôgarit. Chúng ta cũng sẽ học về quy tắc đổi cơ số để từ đó biết cách tính mọi lôgarit bằng máy tính.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.