Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 3

Bài học 2: Phép tính lôgarit

Giới thiệu về quy tắc đổi cơ số

Học cách viết lại một lôgarit bất kỳ bằng lôgarit với một cơ số khác. Đây là quy tắc rất hữu ích để giúp ta tính lôgarit trên máy tính!

Giả sử, chúng ta muốn tính

\log_{2} 50

. Vì

50

không phải là lũy thừa hữu tỉ của

2

, ta khó có thể tính ra giá trị của lôgarit mà không dùng máy tính.

Tuy nhiên, phần lớn máy tính cầm tay chỉ tính trực tiếp được lôgarit cơ số

10

và cơ số

e

. Vì vậy, để tìm giá trị của

\log_{2} 50

, trước tiên, chúng ta phải đổi cơ số của lôgarit.

Quy tắc đổi cơ số

Ta có thể thay đổi cơ số của bất kỳ lôgarit nào bằng cách sử dụng quy tắc sau:

Lưu ý:

Khi sử dụng tính chất này, ta có thể thay đổi cơ số ban đầu của lôgarit thành bất kỳ cơ số $x$ ‍ nào khác.
Tuy nhiên, ta vẫn cần đảm bảo đối số của lôgarit phải dương và cơ số của lôgarit cũng phải dương và khác $1$ ‍ để quy tắc này luôn đúng!

Ví dụ: Tính $\log_{2} 50$ ‍

Ta có thể đổi cơ số thành

10

hoặc

e

vì những lôgarit này có thể được tính trên hầu hết các máy tính cầm tay.

Ta đổi cơ số của

\log_{2} 50

thành

10

Áp dụng quy tắc đổi cơ số, trong đó,

b = 2

a = 50

và

x = 10

\begin{aligned} \log_{2} 50 & = \frac{\log_{10} 50}{\log_{10} 2} & Quy tắc đổi cơ số \\ = \frac{\log 50}{\log 2} & Vì \log_{10} x = \log x \end{aligned}

Ta dùng máy tính cầm tay để tính.

\frac{\log 50}{\log 2} \approx 5,644

[Chúng ta cũng có thể đổi thành cơ số e.]

Bài tập vận dụng

Bài 1

Tính $\log_{3} 20$ ‍.
Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.

Bài 2

Tính $\log_{7} 400$ ‍.
Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.

Bài 3

Tính $\log_{4} 0, 3$ ‍.
Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.

Chứng minh quy tắc đổi cơ số

Nếu bạn đang tự hỏi "Tại sao ta có thể áp dụng quy tắc này?", hãy xem phần chứng minh dưới đây.

\log_{b} a = \frac{\log_{x} a}{\log_{x} b}

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh quy tắc trên đúng cho một ví dụ cụ thể. Ta sẽ sử dụng luôn ví dụ vừa rồi và chứng minh

\log_{2} 50 = \frac{\log 50}{\log 2}

Ta dùng

n

để thay cho

\log_{2} 50

. Nói cách khác, ta đặt

\log_{2} 50 = n

. Từ định nghĩa của lôgarit, ta có

2^{n} = 50

. Tiếp theo, ta biến đổi tương đương hai vế của phương trình như sau:

\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log 2^{n} & = \log 50 & Nếu A = B, khi đó \log A = \log B \\ n \log 2 & = \log 50 & Quy tắc tính lôgarit của lũy thừa \\ n & = \frac{\log 50}{\log 2} & Chia hai vế cho \log 2 \end{aligned}

Vì

n

bằng

\log_{2} 50

, ta có

\log_{2} 50 = \frac{\log_{x} 50}{\log_{x} 2}

, đây cũng chính là điều ta muốn chứng minh!

Bằng lập luận tương tự, ta có thể chứng minh quy tắc đổi cơ số trong trường hợp tổng quát. Chúng ta chỉ cần đổi

2

thành

b

50

thành

a

và lấy bất kỳ cơ số

x

nào khác để làm cơ số mới. Sau đó, chúng ta làm tương tự như vừa rồi và sẽ được điều phải chứng minh!

[Mình muốn xem cách làm.]

Bài tập nâng cao

Bài tập nâng cao 1

Tính $\frac{\log 81}{\log 3}$ ‍ mà không dùng máy tính.

Bài tập nâng cao 2

Biểu thức nào tương đương với $\log 6 \cdot \log_{6} a$ ‍?

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 3

Quy tắc đổi cơ số

Ví dụ: Tính log2⁡50‍

Bài tập vận dụng

Chứng minh quy tắc đổi cơ số

Bài tập nâng cao

Tham gia cuộc thảo luận?

Ví dụ: Tính $\log_{2} 50$ ‍