Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 3

Bài học 2: Phép tính lôgarit

Chứng minh quy tắc tính lôgarit

Tìm hiểu cách chứng minh các quy tắc tính lôgarit: quy tắc tính lôgarit của tích, thương và lũy thừa.

Trong bài học này, chúng ta sẽ chứng minh ba quy tắc tính lôgarit: quy tắc tính lôgarit của tích, thương và lũy thừa. Trước khi bắt đầu, ta đã biết:

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Nói cách khác, lôgarit cơ số

b

là phép tính đảo ngược của

b

lũy thừa!

[Tại sao điều này lại đúng?]

Bạn hãy ghi nhớ điều này trước khi đọc các phần chứng minh tiếp theo.

Quy tắc tính lôgarit của một tích: $\log_{b} (M N) = \log_{b} M + \log_{b} N$ ‍

Đầu tiên, ta chứng minh quy tắc với một trường hợp cụ thể khi

M = 4

N = 8

và

b = 2

Thế những giá trị này vào

\log_{b} (M N)

, chúng ta nhận thấy:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 và 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} b^{c} = c \\ = \log_{2} 4 + \log_{2} 8 & Vì 2 = \log_{2} 4 và 3 = \log_{2} 8 \end{aligned}$ ‍

Vì vậy, ta có,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} 4 + \log_{2} 8

Dựa theo cách chứng minh cho một ví dụ cụ thể ở trên, ta có thể chứng minh quy tắc tính lôgarit của một tích đúng cho mọi trường hợp.

Chú ý: Trong ví dụ vừa rồi, việc viết lại

4

và

8

dưới dạng lũy thừa của

2

là bước rất quan trọng để ta chứng minh được quy tắc tính này. Vì vậy, khi chứng minh công thức tổng quát, chúng ta cần viết lại

M

và

N

thành lũy thừa của cơ số

b

. Để làm điều này, ta có thể đặt

M = b^{x}

và

N = b^{y}

với

x

và

y

là hai số thực.

[Tại sao chúng ta có thể làm như vậy?]

Khi đó,

\log_{b} M = x

và

\log_{b} N = y

Ta được:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Phép thế \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Tính chất của lũy thừa \\ = x + y & \log_{b} b^{c} = c \\ = \log_{b} M + \log_{b} N & Phép thế \end{aligned}$ ‍

Quy tắc tính lôgarit của thương: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} M - \log_{b} N$ ‍

Ta có thể chứng minh quy tắc này tương tự như quy tắc tính lôgarit của tích.

Nếu chúng ta đặt

M = b^{x}

và

N = b^{y}

thì

\log_{b} M = x

và

\log_{b} N = y

Ta chứng minh quy tắc tính lôgarit của thương như sau:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Phép thế \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Tính chất của lũy thừa \\ = x - y & \log_{b} b^{c} = c \\ = \log_{b} M - \log_{b} N & Phép thế \end{aligned}$ ‍

Quy tắc tính lôgarit của lũy thừa: $\log_{b} M^{p} = p \log_{b} M$ ‍

Biểu thức lần này chỉ có

M

nên ta đặt

M = b^{x}

, khi đó ta được

\log_{b} M = x

Ta chứng minh quy tắc tính lôgarit của lũy thừa như sau.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Phép thế \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Tính chất của lũy thừa \\ = x p & \log_{b} b^{c} = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Phép thế \\ = p \cdot \log_{b} M & Tính chất giao hoán của phép nhân \end{aligned}$ ‍

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể chứng minh quy tắc này bằng cách sử dụng quy tắc tính lôgarit của tích.

Ví dụ,

\log_{b} M^{p} = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, trong đó

M

nhân với chính nó

p

lần.

Ta có thể sử dụng quy tắc tính lôgarit của tích cùng với định nghĩa của phép nhân (phép nhân chính là phép cộng lặp lại các số giống nhau) để chứng minh quy tắc lôgarit của lũy thừa như dưới đây:

\begin{aligned} \log_{b} M^{p} & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Định nghĩa của lũy thừa \\ = \log_{b} M + \log_{b} M + … + \log_{b} M & Quy tắc tính lôgarit của tích \\ = p \cdot \log_{b} M & Phép nhân là phép cộng lặp lại các số giống nhau \end{aligned}

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được 3 quy tắc tính lôgarit!

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 3

Quy tắc tính lôgarit của một tích: logb⁡(MN)=logb⁡M+logb⁡N‍

Quy tắc tính lôgarit của thương: logb⁡(MN)=logb⁡M−logb⁡N‍

Quy tắc tính lôgarit của lũy thừa: logb⁡Mp=plogb⁡M‍

Tham gia cuộc thảo luận?

Quy tắc tính lôgarit của một tích: $\log_{b} (M N) = \log_{b} M + \log_{b} N$ ‍

Quy tắc tính lôgarit của thương: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} M - \log_{b} N$ ‍

Quy tắc tính lôgarit của lũy thừa: $\log_{b} M^{p} = p \log_{b} M$ ‍