If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang sử dụng bộ lọc web, vui lòng kiểm tra lại xem bộ lọc có chặn hai tên miền *.kastatic.org và *.kasandbox.org hay không.

Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 12 (Việt Nam) > Chương 1

Bài học 2: Cực trị của hàm số
Toán
Toán lớp 12 (Việt Nam)
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Cực trị của hàm số
© 2024 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách về quyền riêng tưThông báo về cookie

Tìm cực trị của hàm số

Google Classroom
Để tìm cực trị của hàm số, chúng ta sử dụng đạo hàm cấp 1 của hàm số. Quy tắc này bao gồm nhiều bước, vì vậy ta cần tìm hiểu kĩ các bước làm để tránh nhầm lẫn.
Từ biểu thức hàm số, ta có thể tìm được tất cả các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Đây là quy tắc tìm cực trị dựa vào đạo hàm cấp 1 của hàm số. Hãy tìm hiểu các bước làm của quy tắc này để tránh nhầm lẫn.

Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x)=x2x−1

Bước 1: Tính f′(x)
Để tìm các điểm cực trị của hàm số f, đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số f:
f′(x)=x2−2x(x−1)2
Bước 2: Tìm tất cả các điểm tại đó f′ = 0 hoặc f′ không xác định.
Các điểm cực trị của hàm số f có thể là các điểm x thuộc tập xác định của f mà tại đó, f′(x)=0 hoặc f′ không xác định. Ngoài ra, ta cũng nên kiểm tra các điểm mà tại đó hàm số f không xác định.
Ta sẽ kiểm tra xem dấu của f′ có thay đổi giữa hai điểm liên tiếp không trong bước tiếp theo.
Trong trường hợp này, các điểm này là x=0, x=1 và x=2.
Bước 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến
Chúng ta có thể thực hiện bước này bằng nhiều cách, nhưng ta nên sử dụng bảng biến thiên. Trong bảng biến thiên, ta chọn một giá trị tùy ý thuộc mỗi khoảng giá trị được tạo thành bởi các điểm x mà ta tìm được ở Bước 2 và kiểm tra dấu của đạo hàm tại giá trị đó.
Đây là bảng biến thiên của hàm số trên:
KhoảngGiá trị của xf′(x)Kết luận
(−∞;0)x=−1f′(−1)=0,75>0f đồng biến ↗
(0;1)x=0,5f′(0,5)=−3<0f nghịch biến ↘
(1;2)x=1,5f′(1,5)=−3<0f nghịch biến ↘
(2;+∞)x=3f′(3)=0,75>0f đồng biến ↗
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Sau khi tìm được các khoảng đồng biến và nghịch biến của f, ta có thể tìm các điểm cực trị của hàm số. Điểm cực trị là điểm mà tại đó hàm số f xác định và f′ đổi dấu khi đi qua điểm đó.
Trong trường hợp này:
  • Hàm sốf đồng biến trước điểm x=0, sau đó nghịch biến, và xác định tại x=0. Do đó, hàm số f đạt cực đại tại x=0.
  • Hàm số f nghịch biến trước điểm x=2, sau đó đồng biến, và xác định tại x=2. Do đó, hàm số f đạt cực tiểu tại x=2.
  • Hàm số f không xác định tại x=1, nên hàm số không có điểm cực trị tại đó.
Bài 1
Giang cần tìm các điểm cực trị của hàm số f(x)=2x3+18x2+54x+50. Dưới đây là bài làm của bạn ấy:
Bước 1: f′(x)=6(x+3)2
Bước 2: Nghiệm của f′(x)=0 là x=−3.
Bước 3: Hàm số f đạt cực đại tại x=−3.
Bài làm của Giang có đúng không? Nếu không, bạn ấy đã làm sai ở bước nào?
Chọn 1 đáp án:

Lỗi sai thường gặp: Không kiểm tra lại các điểm mà tại đó f′=0 hoặc f′ không xác định

Hãy nhớ rằng: Điểm mà tại đó f′=0 hoặc f′ không xác định có thể không phải là điểm cực trị. Vì vậy, ta cần kiểm tra các điểm này để xem hàm số có xác định tại các điểm đó không và đạo hàm của hàm số có đổi dấu khi đi qua các điểm đó không.
Bài 2
Yến cần tìm xem hàm số g(x)=(x2−1)2/3 có cực đại không. Dưới đây là bài làm của bạn ấy:
Bước 1: g′(x)=4x3Ax2−13
Bước 2: f′=0 tại x=0.
Bước 3:
KhoảngGiá trị của xg′(x)Kết luận
(−∞;0)x=−3g′(−3)=−2<0g nghịch biến ↘
(0;+∞)x=3g′(3)=2>0g đồng biến ↗
Bước 4: Hàm số g nghịch biến trước điểm x=0, sau đó đồng biến. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và không có điểm cực đại.
Bài làm của Yến có đúng không? Nếu không, bạn ấy làm sai ở bước nào?
Chọn 1 đáp án:

Lỗi sai thường gặp: Không xét những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định

Hãy nhớ rằng: Khi tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến, ta cần tìm tất cả các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 và tất cả các điểm mà tại đó hàm số hoặc đạo hàm của hàm số không xác định. Nếu ta tìm thiếu bất kỳ điểm nào trong đó, bảng biến thiên của chúng ta sẽ không chính xác.
Bài 3
Dũng cần tìm xem h(x)=x2+1x2 có điểm cực đại không. Dưới đây là bài làm của bạn ấy:
Bước 1: h′(x)=2(x4−1)x3
Bước 2: Các điểm mà tại đó f′=0 là x=−1 và x=1, và hàm số h không xác định tại x=0.
Bước 3:
KhoảngGiá trị của xh′(x)Kết luận
(−∞,−1)x=−2h′(−2)=−3,75<0h nghịch biến ↘
(−1;0)x=−0,5h′(−0,5)=15>0h đồng biến ↗
(0;1)x=0,5h′(0,5)=−15<0h nghịch biến ↘
(1;+∞)x=2h′(2)=3,75>0h đồng biến ↗
Bước 4: Hàm số h đồng biến trước điểm x=0, sau đó nghịch biến. Vì vậy, hàm số h đạt cực đại tại x=0.
Bài làm của Dũng có đúng không? Nếu không, bạn ấy đã làm sai ở bước nào?
Chọn 1 đáp án:

Lỗi sai phổ biến: Không kiểm tra tập xác định của hàm số

Hãy nhớ rằng: Sau khi tìm được các điểm mà tại đó đồ thị hàm số đổi hướng, ta cần kiểm tra xem hàm số có xác định tại các điểm đó không. Nếu không, đó không phải là điểm cực trị.

Bài tập vận dụng: Quy tắc tìm cực trị

Bài 4
Cho f(x)=x3+6x2−15x+2.
Hàm số f đạt cực đại tại giá trị nào của x?
Chọn 1 đáp án:

Bài 5
Cho g là một hàm đa thức có đạo hàm g′ là g′(x)=x(x+2)(x+4)2.
Đồ thị hàm số của g có bao nhiêu điểm cực đại?
Chọn 1 đáp án:

Bạn muốn luyện tập thêm? Hãy làm thử bài tập này.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.