Nội dung chính

Khóa học: AP®︎/College Calculus AB > Chương 6

Bài học 2: Riemann sums, summation notation, and definite integral notation

Tích phân theo nghĩa là giới hạn của tổng Riemann

Tổng Riemann không chỉ giúp ta tính xấp xỉ tích phân mà còn giúp ta xác định chính xác tích phân. Tìm hiểu cách thực hiện điều này và cách chuyển từ biểu diễn một diện tích dưới dạng tích phân sang dạng tổng Riemann.

Tích phân biểu diễn diện tích phần giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, và tổng Riemann giúp chúng ta ước lượng phần diện tích đó. Câu hỏi đặt ra là: có cách nào để tìm giá trị chính xác của một tích phân không?

Tổng Riemann với "vô số" các hình chữ nhật

Giả sử chúng ta muốn tìm phần diện tích giới hạn bởi đồ thị của hàm số

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

giữa

x = 2

và

x = 6

Sử dụng kí hiệu của tích phân, chúng ta có thể biểu diễn chính xác phần diện tích:

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Ta có thể ước lượng phần diện tích này bằng cách dùng tổng Riemann. Cho

R (n)

là ước lượng tổng Riemann phải của phần diện tích, sử dụng

n

phần bằng nhau (tức là

n

hình chữ nhật với chiều rộng bằng nhau).

Ví dụ, đây sẽ là

R (4)

. Bạn có thể thấy giá trị này là quá cao so với diện tích thật.

Ta có thể ước lượng chính xác hơn bằng cách chia phần diện tích thành nhiều hình chữ nhật với chiều rộng nhỏ hơn, tức là tăng giá trị

n

của

R (n)

Bạn có thể thấy sự giá trị ước lượng sẽ gầnđúng với diện tích thật khi số lượng hình chữ nhật tăng từ

1

đến

100

Tất nhiên, việc tăng số lượng hình chữ nhật sẽ giúp chúng ta ước lượng chính xác hơn, nhưng ước lượng cũng chỉ là ước lượng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu ta có thể lấy tổng Riemann với vô số các phần chia bằng nhau? Điều này liệu có khả thì không? Chúng ta không thể đặt

n = \infty

bởi vì vô cực không phải là một con số hữu hạn, nhưng ta vẫn có cách để đưa một số đến vô cực...

Giới hạn!

Đặc biệt là giới hạn sau:

lim_{n \to \infty} R (n)

Sự thật thú vị #1: Giới hạn trên cho ta giá trị chính xác của

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Sự thật thú vị #2: Không quan trọng ta lấy giới hạn của tổng Riemann phải hay tổng Riemann trái, hoặc bất kỳ phép xấp xỉ nào khác. Đến vô cực, ta sẽ luôn tính được giá trị chính xác của tích phân.

(Các minh chứng các thông tin trên rất dài dòng và phức tạp để đề cập trong bài học này, nhưng điều đó không quan trọng vì chúng ta chỉ quan tâm đến cách hiểu cơ bản khi liên kết giữa tổng Riemann với tích phân.)

Chúng ta đã dùng

R (n)

để biểu diễn phép tính xấp xỉ tổng Riemann phải với

n

phần chia nhỏ. Bây giờ hãy cùng tìm biểu thức chính xác.

Ôn tập nhanh: Chúng ta đang tìm

Δ x

chiều rộng

không thay đổi của bất kì hình chữ nhật nào, và

x_{i}

, giá trị

x

của cạnh bên phải của hình chữ nhật thứ

i^{th}

. Sau đó,

f (x_{i})

sẽ cho ta

chiều dài

mỗi hình chữ nhật.

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

Vậy diện tích của hình chữ nhật thứ

i^{th}

là

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

, và sau đó chúng ta tìm tổng của các giá trị

i

từ

1

đến

n

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn diện tích thực dưới dạng một giới hạn:

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

Theo định nghĩa, tích phân là giới hạn của tổng Riemann

Ví dụ trên là một trường hợp điển hình của định nghĩa tổng quát của tích phân.

Tích phân của một hàm liên tục

f

trên khoảng

[a, b]

, kí hiệu là

\int_{a}^{b} f (x) d x

, chính là giới hạn của một tổng Riemann khi số lượng các phần chia nhỏ tiến đến vô cực. Đó là,

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

khi

Δ x = \frac{b - a}{n}

và

x_{i} = a + Δ x \cdot i

Trường hợp ta được yêu cầu viết một tổng Riemann từ một tích phân...

Giả sử ta được yêu cầu viết tích phân dưới đây dưới dạng giới hạn của một tổng Riemann.

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

Trước tiên, hãy tìm

Δ x

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

Chúng ta đã có

Δ x

, ta có thể tìm

x_{i}

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

Vậy,

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

Luyện tập viết tổng Riemann từ các tích phân

Bài 1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

Bài 2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

Các lỗi sai phổ biến: Viết sai biểu thức của $Δ x$ ‍

Ví dụ, trong câu 2, ta có thể hình dung cách một học sinh viết

Δ x

dưới dạng

\frac{e}{n}

hay

\frac{1}{n}

thay vì

\frac{e - 1}{n}

. Một ví dụ khác cơ bản là dùng

d x

cho

Δ x

. Hãy nhớ rằng

d x

chỉ được sử dụng trong kí hiệu tích phân, không phải trong tổng. Nó cho biết rằng phải lấy tích phân đối với

x

Một lỗi sai phổ biến khác: Viết sai biểu thức của $x_{i}$ ‍

Một học sinh có thể quên cộng

a

vào

Δ x \cdot i

, dẫn tới việc viết sai biểu thức. Ví dụ, trong câu 2, học sinh đó có thể viết

x_{i}

dưới dạng

\frac{e - 1}{n} \cdot i

thay vì

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

Trường hợp ta được yêu cầu viết tích phân từ giới hạn của một tổng Riemann...

Giả sử ta được yêu cầu tìm tích phân tương đương với giới hạn sau

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Tức là ta cần phải tìm khoảng của tích phân

[a, b]

và hàm lấy tích phân

f (x)

. Vậy, tích phân tương ứng sẽ là

\int_{a}^{b} f (x) d x

Ta biết rằng mỗi tổng Riemann đều có hai phần: chiều rộng

Δ x

và chiều dài

f (x_{i})

cho mỗi hình chữ nhật trong tổng. Nhìn vào giới hạn cụ thể sau, ta có thể lựa chọn phù hợp cho cả hai phần.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Những hình chữ nhật với chiều rộng giống nhau: Biểu thức

\frac{5}{n}

là một lựa chọn phù hợp cho chiều rộng của hình chữ nhật,

Δ x

, vì nó không phụ thuộc vào số ảo

i

. Có nghĩa là

Δ x

sẽ giống nhau cho từng số hạng trong tổng, điều này giống với những gì ta biết về tổng Riemann có các hình chữ nhật với chiều rộng giống nhau.

Những hình chữ nhật với chiều dài khác nhau: Biểu thức

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

phụ thuộc vào

i

, chứng minh rằng đây là một lựa chọn phù hợp để biểu diễn chiều dài,

f (x_{i})

. Lựa chọn phù hợp nhất cho

x_{i}

chính là

2 + \frac{5 i}{n}

, nên ta sẽ chọn biểu thức này, đồng nghĩa với việc hàm số ta đang lấy tích phân là

f (x) = \ln (x)

Để tìm của cận

a

và

b

của tích phân, hãy nhớ lại các định nghĩa chung của

Δ x

và

x_{i}

mà liên quan tới tích phân.

Như đã định nghĩa bên trên,

x_{i} = a + Δ x \cdot i

. Trong câu hỏi này,

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

có thể được viết lại thành

2 + \frac{5}{n} i

, vậy

a

phải bằng

2

Như đã định nghĩa bên trên,

Δ x = \frac{b - a}{n}

. Trong câu hỏi này,

Δ x = \frac{5}{n}

. Vì cả hai mẫu đều bằng

n

, vậy hai tử cũng phải bằng nhau:

b - a = 5

. Ta biết rằng

a = 2

, vậy có thể kết luận là

b = 7

Tổng hợp các dữ kiện lại, đây là tích phân bằng với giới hạn của tổng Riemann:

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

Luyện tập viết tích phân từ tổng Riemann

Bài 3.A

Bài tập số 3 sẽ hướng dẫn bạn từng bước tìm tích phân được biểu diễn bằng biểu thức sau:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

$Δ x$ ‍ trong biểu thức này là bao nhiêu?

Khó khăn thường gặp: Tìm $Δ x$ ‍ trong biểu thức tổng Riemann

Khi biểu thức tổng phức tạp và gồm nhiều phân số, ta có thể gặp khó khăn trong việc tìm

Δ x

Hãy nhớ rằng $Δ x$ ‍ phải là nhân tử của biểu thức tổng, dưới dạng $\frac{k}{n}$ ‍, với $k$ ‍ không bao gồm $i$ ‍.

Một khó khăn thường gặp khác: Tìm giới hạn của tích phân

Trong bài tập số 3,

Δ x = \frac{4}{n}

cho ta biết

b - a = 4

. Điều này rất hữu ích, nhưng nếu không tìm được

a

, ta sẽ không thể biết

a

và

b

bằng bao nhiêu. Ta có thể tìm được

a

bằng cách sử dụng dữ kiện

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

Một lỗi hay mắc phải chính là lập tức ngộ nhận rằng, ví dụ, $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍, thì giới hạn tích phân sẽ là $[0, 4]$ ‍.

Khó khăn thường gặp cuối cùng: Phân tích biểu thức

Một số học sinh chỉ đơn giản là không biết bắt đầu từ đâu.

Hãy bắt đầu với biểu thức tổng. Bạn nên xác định được hai nhân tử: Một là dạng $\frac{k}{n}$ ‍ (với $k$ ‍ không bao gồm $i$ ‍) và cái còn lại là hàm của $i$ ‍. Cái đầu tiên cho biết $Δ x$ ‍ và cái sau sẽ cho biết $f (x_{i})$ ‍.

Bài 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

Bạn muốn luyện tập thêm? Hãy thử bài tập này.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

AP®︎/College Calculus AB