If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 5

Bài học 2: Quy tắc tính đạo hàm
Toán
Toán lớp 11 (Việt Nam)
Đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Google Classroom
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp cho biết cách tìm đạo hàm của một hàm hợp. Trong bài này, ta sẽ tìm hiểu kiến thức về hàm hợp và học cách áp dụng đúng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp:
start fraction, divided by, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, prime, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Quy tắc này giúp chúng ta tìm đạo hàm của các hàm hợp.

Tóm tắt kiến thức về hàm hợp

Một hàm số được gọi là hàm hợp khi ta có thể viết hàm số này dưới dạng f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. Ta cũng có thể gọi hàm hợp là một hàm số chứa trong một hàm số khác, hoặc hàm số của một hàm số.
Ví dụ, start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 là hàm hợp, vì nếu ta cho start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, x, end color #1fab54 và start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, thì start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
start color #e07d10, g, end color #e07d10 là hàm số nằm trong start color #1fab54, f, end color #1fab54, nên ta gọi start color #e07d10, g, end color #e07d10 là hàm "trong" và start color #1fab54, f, end color #1fab54 là hàm "ngoài".
start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, space, t, r, o, n, g, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, n, g, o, a, with, \`, on top, i, end text, end subscript, end color #1fab54
Mặt khác, left parenthesis, cosine, x, right parenthesis, dot, x, squared không phải là hàm hợp. Đây là tích của f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, x và g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, nhưng mỗi hàm số này không nằm trong hàm số còn lại.
Bài 1
Hàm số g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, sine, x, right parenthesis có phải là hàm hợp không? Nếu có, "hàm trong" và "hàm ngoài" là gì?
Chọn 1 đáp án:

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm: Không phân biệt được hàm số nào là hàm hợp và không phải là hàm hợp

Thông thường, cách duy nhất để đạo hàm một hàm hợp là sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp. Nếu không nhận ra được một hàm là hàm hợp và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, chúng ta không thể tìm ra đạo hàm một cách chính xác.
Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp cho hàm số không phải là hàm hợp cũng dẫn đến việc tìm đạo hàm sai.
Đặc biệt, đối với các hàm số không gồm những phép toán cơ bản (ví dụ như hàm lượng giác và hàm lôgarit), chúng ta hay nhầm lẫn hàm hợp, ví dụ như natural log, left parenthesis, sine, x, right parenthesis, với tích của left parenthesis, natural log, x, right parenthesis, left parenthesis, sine, x, right parenthesis.
Bài 2
Hàm số h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, x có phải là hàm hợp không? Nếu có, "hàm trong" và "hàm ngoài" là gì?
Chọn 1 đáp án:

Bạn muốn luyện tập thêm? Hãy thử làm bài tập này.

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm: Xác định nhầm hàm trong và hàm ngoài

Ngay cả khi nhận ra một hàm là hàm hợp, chúng ta vẫn có thể xác định nhầm hàm trong và hàm ngoài của hàm hợp đó, từ đó dẫn đến việc tính đạo hàm sai.
Ví dụ, trong hàm hợp cosine, squared, x, hàm ngoài là x, squared và hàm trong là cosine, x. Chúng ta có thể nhầm lẫn và cho rằng cosine, x là hàm ngoài.

Ví dụ: áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Ta thử áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để tìm đạo hàm của hàm số h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Chú ý, hàm số h là một hàm hợp:
h(x)=( 5−6x⏞ trong )5⏟ngoaˋig(x)=5−6xhaˋm trongf(x)=x5haˋm ngoaˋi\begin{aligned} h(x) &= \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{ trong}}~})^5}_{\text{ngoài}}} \\\\ \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{hàm trong} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{hàm ngoài} \end{aligned}
Vì hàm số h là hàm hợp, chúng ta áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm:
start fraction, divided by, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, prime, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Tóm lại, đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm của hàm ngoài start color #11accd, f, prime, end color #11accd nhân với đạo hàm của hàm trong start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c. start color #e07d10, end color #e07d10
Trước khi áp dụng quy tắc, chúng ta tìm đạo hàm của hàm trong và hàm ngoài:
g′(x)=−6f′(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Giờ chúng ta áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp:
[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)=5(5−6x)4⋅−6=−30(5−6x)4\begin{aligned} &\dfrac{}{}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right]' \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Luyện tập áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Câu hỏi 3.A
  • Hiện tại
Hoàn thành Câu hỏi 3 để nắm được các bước tìm đạo hàm của sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis.
Đâu là hàm trong và hàm ngoài của sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis?
Chọn 1 đáp án:

Bài 4
  • Hiện tại
Tính start fraction, divided by, end fraction, left parenthesis, square root of, cosine, x, end square root, right parenthesis, prime, equals, question mark
Chọn 1 đáp án:

Bạn muốn luyện tập thêm? Làm thử bài tập này.
Bài 5
  • Hiện tại
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
Cho hàm số G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Tính G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Bạn muốn luyện tập thêm? Hãy làm thử bài tập này.
Bài 6
Bạn Khang tìm đạo hàm của left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed. Đây là bài làm của bạn ấy:
Bước 1: Đặt start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54 và start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, ta có start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
Bước 2: start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd
Bước 3: Đạo hàm là start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd:
start fraction, divided by, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, prime, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd
Bài làm của bạn Khang có đúng không? Nếu không đúng, bạn ấy làm sai ở bước nào?
Chọn 1 đáp án:

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm: Quên nhân với đạo hàm của hàm trong

Khi tìm đạo hàm của hàm hợp, ta cũng có thể mắc phải lỗi là chỉ tìm đạo hàm của hàm ngoài f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, trong khi đạo hàm đúng phải là f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Một sai lầm khác thường gặp: Tìm f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis thay vì tìm đạo hàm của hàm hợp

Một lỗi sai khác thường gặp là tìm đạo hàm của f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis dưới dạng hàm hợp của đạo hàm f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Đây cũng là cách làm sai. Hàm số bên trong f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis là g, left parenthesis, x, right parenthesis, không phải g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Ghi nhớ: Đạo hàm của start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 là start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Không phải start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd và không phải start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.