Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 5

Bài học 2: Quy tắc tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Quy tắc đạo hàm của hàm hợp cho biết cách tìm đạo hàm của một hàm hợp. Trong bài này, ta sẽ tìm hiểu kiến thức về hàm hợp và học cách áp dụng đúng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.

Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp:

\frac{}{} {[f (g (x))]}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Quy tắc này giúp chúng ta tìm đạo hàm của các hàm hợp.

Tóm tắt kiến thức về hàm hợp

Một hàm số được gọi là hàm hợp khi ta có thể viết hàm số này dưới dạng

f (g (x))

. Ta cũng có thể gọi hàm hợp là một hàm số chứa trong một hàm số khác, hoặc hàm số của một hàm số.

Ví dụ,

\cos (x^{2})

là hàm hợp, vì nếu ta cho

f (x) = \cos x

và

g (x) = x^{2}

, thì

\cos (x^{2}) = f (g (x))

g

là hàm số nằm trong

f

, nên ta gọi

g

là hàm "trong" và

f

là hàm "ngoài".

\underset{ngoài}{\underset{⏟}{\cos (\overset{trong}{\overset{⏞}{x^{2}}})}}

Mặt khác,

(\cos x) \cdot x^{2}

không phải là hàm hợp. Đây là tích của

f (x) = \cos x

và

g (x) = x^{2}

, nhưng mỗi hàm số này không nằm trong hàm số còn lại.

Bài 1

Hàm số $g (x) = \ln (\sin x)$ ‍ có phải là hàm hợp không? Nếu có, "hàm trong" và "hàm ngoài" là gì?

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm: Không phân biệt được hàm số nào là hàm hợp và không phải là hàm hợp

Thông thường, cách duy nhất để đạo hàm một hàm hợp là sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp. Nếu không nhận ra được một hàm là hàm hợp và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, chúng ta không thể tìm ra đạo hàm một cách chính xác.

Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp cho hàm số không phải là hàm hợp cũng dẫn đến việc tìm đạo hàm sai.

Đặc biệt, đối với các hàm số không gồm những phép toán cơ bản (ví dụ như hàm lượng giác và hàm lôgarit), chúng ta hay nhầm lẫn hàm hợp, ví dụ như

\ln (\sin x)

, với tích của

(\ln x) (\sin x)

Bài 2

Hàm số $h (x) = \cos^{2} x$ ‍ có phải là hàm hợp không? Nếu có, "hàm trong" và "hàm ngoài" là gì?

Bạn muốn luyện tập thêm? Hãy thử làm bài tập này.

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm: Xác định nhầm hàm trong và hàm ngoài

Ngay cả khi nhận ra một hàm là hàm hợp, chúng ta vẫn có thể xác định nhầm hàm trong và hàm ngoài của hàm hợp đó, từ đó dẫn đến việc tính đạo hàm sai.

Ví dụ, trong hàm hợp

\cos^{2} x

, hàm ngoài là

x^{2}

và hàm trong là

\cos x

. Chúng ta có thể nhầm lẫn và cho rằng

\cos x

là hàm ngoài.

Ví dụ: áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Ta thử áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để tìm đạo hàm của hàm số

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

. Chú ý, hàm số

h

là một hàm hợp:

\begin{aligned} h (x) & = \underset{ngoài}{\underset{⏟}{(\overset{trong}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}} \\ g (x) & = 5 - 6 x & hàm trong \\ f (x) & = x^{5} & hàm ngoài \end{aligned}

Vì hàm số

h

là hàm hợp, chúng ta áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm:

\frac{}{} {[f (g (x))]}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Tóm lại, đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm của hàm ngoài

f^{'}

nhân với đạo hàm của hàm trong

g^{'}

Trước khi áp dụng quy tắc, chúng ta tìm đạo hàm của hàm trong và hàm ngoài:

\begin{aligned} g^{'} (x) & = - 6 \\ f^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

Giờ chúng ta áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp:

\begin{aligned} \frac{}{} {[f (g (x))]}^{'} \\ = & f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \cdot - 6 \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

Luyện tập áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Bài 3.A

Hoàn thành Câu hỏi 3 để nắm được các bước tìm đạo hàm của

\sin (2 x^{3} - 4 x)

Đâu là hàm trong và hàm ngoài của $\sin (2 x^{3} - 4 x)$ ‍?

(Đáp án A)
Hàm trong là $\sin x$ ‍ và hàm ngoài là $2 x^{3} - 4 x$ ‍.
(Đáp án B)
Hàm trong là $2 x^{3} - 4 x$ ‍ và hàm ngoài là $\sin x$ ‍.
(Đáp án C)
Hàm trong là $2 x^{3}$ ‍ và hàm ngoài là $- 4 x$ ‍.
(Đáp án D)
Hàm trong là $- 4 x$ ‍ và hàm ngoài là $2 x^{3}$ ‍.

Bài 4

Tính

\frac{}{} (\sqrt{\cos x})^{'} = ?

Bạn muốn luyện tập thêm? Làm thử bài tập này.

Bài 5

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

Cho hàm số

G (x) = f (h (x))

Tính

G^{'} (2) =

Bạn muốn luyện tập thêm? Hãy làm thử bài tập này.

Bài 6

Bạn Khang tìm đạo hàm của

(2 x^{2} - 4)^{3}

. Đây là bài làm của bạn ấy:

Bước 1: Đặt

f (x) = x^{3}

và

g (x) = 2 x^{2} - 4

, ta có

(2 x^{2} - 4)^{3} = f (g (x))

Bước 2:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

Bước 3: Đạo hàm là

f^{'} (g (x))

\frac{}{} [(2 x^{2} - 4)^{3}]^{'} = 3 (2 x^{2} - 4)^{2}

Bài làm của bạn Khang có đúng không? Nếu không đúng, bạn ấy làm sai ở bước nào?

(Đáp án A)
Bạn Khang đã làm đúng.
(Đáp án B)
Bước 1 không chính xác. $(2 x^{2} - 4)^{3}$ ‍ bằng với $g (f (x))$ ‍, không phải $f (g (x))$ ‍.
(Đáp án C)
Bước 2 không chính xác. Đạo hàm của $f$ ‍ không phải là $3 x^{2}$ ‍.
(Đáp án D)
Bước 3 không chính xác. Đạo hàm cần tìm không phải là $f^{'} (g (x))$ ‍.

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm: Quên nhân với đạo hàm của hàm trong

Khi tìm đạo hàm của hàm hợp, ta cũng có thể mắc phải lỗi là chỉ tìm đạo hàm của hàm ngoài

f^{'} (g (x))

, trong khi đạo hàm đúng phải là

f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Một sai lầm khác thường gặp: Tìm $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍ thay vì tìm đạo hàm của hàm hợp

Một lỗi sai khác thường gặp là tìm đạo hàm của

f (g (x))

dưới dạng hàm hợp của đạo hàm

f^{'} (g^{'} (x))

Đây cũng là cách làm sai. Hàm số bên trong

f^{'} (x)

là

g (x)

, không phải

g^{'} (x)

Ghi nhớ: Đạo hàm của $f (g (x))$ ‍ là $f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍. Không phải $f^{'} (g (x))$ ‍ và không phải $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 11 (Việt Nam)