Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng là một cách thức cơ bản để kết hợp hai vectơ. Nói cách khác, tích vô hướng cho ta biết hai vectơ "cùng hướng" đến mức nào.

Tích vô hướng được biểu diễn bằng dấu chấm $\cdot$‍ giữa hai vectơ (đọc là "a nhân b"):

Các thừa số $|\overrightarrow{a}|$‍ và $|\overrightarrow{b}|$‍ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$‍ và $\overrightarrow{b}$‍. Thừa số cuối là $\cos \theta$‍, trong đó $\theta$‍ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$‍ và $\overrightarrow{b}$‍. Góc này thể hiện mối tương quan về hướng giữa $2$‍ vectơ.

Khi $\theta =0$‍, hai vectơ cùng hướng với nhau. Nếu $2$‍ vectơ có độ dài không đổi, đây sẽ là trường hợp tích vô hướng giữa $2$‍ vectơ là lớn nhất vì $\cos 0=1$‍. Tóm lại, hướng của hai vectơ càng gần nhau thì tích vô hướng giữa chúng càng lớn.

Khi $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍, hai vectơ sẽ vuông góc với nhau. Tích vô hướng giữa chúng bằng $0$‍ bởi vì $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$‍.

Tích vô hướng có thể là giá trị âm nếu hai vectơ ngược hướng, hay ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi {\displaystyle \frac{}{}}$‍.

Để dễ hình dung hơn, từ điểm cuối của một véc-tơ, ta vẽ đường thẳng vuông góc với véc-tơ còn lại. Ta thấy, vì độ dài cạnh huyền là không đổi, nếu góc $\theta$‍ nhỏ dần (hay $2$‍ vectơ càng gần nhau) thì cạnh kề sẽ lớn dần, côsin góc đó lớn dần và tích vô hướng cũng sẽ lớn dần.

Khi $\theta$‍ càng tiến gần đến ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍, cạnh kề sẽ nhỏ dần, côsin góc đó nhỏ dần và tích vô hướng cũng sẽ nhỏ dần.

Hãy nhớ rằng, tích vô hướng của hai vectơ là một số, không phải một vectơ. Vì vậy, ta không thể hỏi $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$‍ bằng bao nhiêu. Nếu giải theo hướng tính $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$‍ bằng một số nào đó rồi nhân với vectơ cuối cùng, khi đó ta đang tính tích giữa một số và một vectơ chứ không phải là tính tích vô hướng của $3$‍ vectơ ban đầu.

Khi cần tìm tích vô hướng, ta thường được cho tọa độ của $\overrightarrow{a}$‍ và $\overrightarrow{b}$‍. Để tính $|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos \theta$‍, ta có thể phải làm hai phép tính căn bậc hai và một cosin. Bên cạnh đó, ta cũng có thể áp dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng như sau:

Mặc dù vectơ trong công thức trên là vectơ trong không gian ba chiều nhưng công thức vẫn đúng cho mọi vectơ với số thành phần tọa độ bất kỳ.

Như vậy, việc tính toán tích vô hướng trở nên đơn giản nếu đã biết tọa độ của mỗi vectơ.

Hãy thử làm một ví dụ.

Mặc dù ta áp dụng biểu thức tọa độ để tính tính vô hướng, bản chất của tích vô hướng vẫn là đo lường mối tương quan giữa hướng của $2$‍ vectơ. Hãy thử đoán dấu của tích vô hướng dựa vào hình minh họa mà đề bài cho.

Đó là tất cả những kiến thức mà các bạn cần biết về tích vô hướng tại thời điểm này. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm, hãy xem video này.

Sau tích vô hướng, hãy tiếp tục tìm hiểu về một phép toán khác liên quan đến vectơ, đó là tích có hướng. Các bạn sẽ thấy tích có hướng bổ sung hoàn hảo cho tích vô hướng nhưng bị hạn chế hơn một chút.