Các phương pháp tìm giới hạn (bài viết)

Dưới đây là sơ đồ mô tả các phương pháp tìm giới hạn:

Lưu ý quan trọng 1: Phương pháp thay trực tiếp là phương pháp đáng tin cậy nhất. Chỉ nên áp dụng các phương pháp khác khi phương pháp này không hiệu quả.

Lưu ý quan trọng 2: Có một sự khác biệt lớn giữa

b / 0

và

0 / 0

(với

b \neq 0

). Khi thay giá trị biến số đang xét vào hàm số, nếu giá trị hàm số nhận được có dạng

b / 0

, giới hạn là vô cực (trường hợp đồ thị hàm số có thể có đường tiệm cận). Ngược lại, nếu giá trị hàm số nhận được có dạng

0 / 0

, ta chưa có đủ thông tin để xác định xem giới hạn có tồn tại hay không. Trường hợp này được gọi là trường hợp vô định trên sơ đồ. Nếu gặp phải trường hợp này, ta cần tiếp tục thực hiện theo các bước ở phần nửa dưới của sơ đồ.

Lưu ý: Có một phương pháp rất hiệu quả để tìm giới hạn được gọi là quy tắc l'Hôpital. Phương pháp này chưa được giới thiệu vì chúng ta chưa học đến đạo hàm.

Thực hành phương pháp thay trực tiếp

Bài 1

g (x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x + 5} - 3}

Giả sử ta muốn tìm

lim_{x \to 4} g (x)

Điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta sử dụng phương pháp thay trực tiếp?

Bài 2

h (x) = \frac{1 - \cos x}{2 \sin^{2} x}

Giả sử ta muốn tìm

lim_{x \to 0} h (x)

Điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta sử dụng phương pháp thay trực tiếp?

Thực hành với trường hợp vô định

Bài 3

Bạn Hùng đang tìm

lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}

Áp dụng phương pháp thay trực tiếp, bạn ấy nhận được biểu thức

\frac{0}{0}

Với bước tiếp theo, bạn Hùng nên sử dụng phương pháp nào?

Bài 4

Bạn Chinh đang tìm

lim_{x \to - 3} \frac{\sqrt{4 x + 28} - 4}{x + 3}

Áp dụng phương pháp thay trực tiếp, bạn ấy nhận được biểu thức

\frac{0}{0}

Với bước tiếp theo, bạn Chinh nên sử dụng phương pháp nào?

Tổng hợp tất cả kiến thức đã học

Bài 5

Giáo viên của Bình đưa ra một sơ đồ và yêu cầu bạn ấy tìm

lim_{x \to 5} f (x)

với

f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25}

Kéo các thẻ bên dưới để liệt kê những bước mà Bình nên làm nhằm tìm được giới hạn đã cho:

A. Thay trực tiếp

B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận

C. Tìm được giới hạn

D. Trường hợp vô định

E. Phân tích thành nhân tử

F. Sử dụng biểu thức liên hợp

G. Áp dụng công thức biến đổi lượng giác

H. Ước lượng

Bài 6