Ta thấy $2x$‍ là đạo hàm của $x^2$‍. Đặt $u=x^2$‍, suy ra $du=2xdx$‍. Từ đây, ta sẽ thay thế các phần vào biểu thức cần tính nguyên hàm.

Biểu thức trở thành biểu thức tính nguyên hàm của hàm số sơ cấp, ta có:

Vậy ${\displaystyle \int \cos \left(x^2\right)2xdx=\sin (x^2)+C}$‍

Ta có thể tính đạo hàm của $\sin (x^2)+C$‍ để kiểm tra kết quả.

Ta thấy, $3x^2$‍ là đạo hàm của $x^3+3$‍. Đặt $u=x^3+3$‍, suy ra $du=3x^{2}dx$‍. Từ đây, ta sẽ thay thế các phần vào biểu thức cần tính nguyên hàm.

Biểu thức trở thành biểu thức tính nguyên hàm của hàm số sơ cấp, ta có:

Vậy ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x^2}{(x^3+3{)}^2}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{x^3+3}}+C}$‍

Ta có thể tính đạo hàm của $-{\displaystyle \frac{1}{x^3+3}}+C$‍ để kiểm tra kết quả.

Đặt $u=4x$‍, khi đó $du=4dx$‍ và $dx={\displaystyle \frac{du}{4}}$‍.

Như vậy, ta có:

Biểu thức trở thành biểu thức tính nguyên hàm của hàm số sơ cấp, ta có:

Vậy ${\displaystyle \int e^{4x}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{4x}+C}$‍ .

Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2+1$‍, khi đó $du={\displaystyle \frac{1}{3}}xdx$‍ và $xdx=3du$‍.

Như vậy, ta có:

Biểu thức trở thành biểu thức tính nguyên hàm của hàm số sơ cấp, ta có:

Vậy ${\displaystyle \int x\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2+1}dx=2{({\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2+1)}^{\frac{3}{2}}+C}$‍