Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 12 (Việt Nam) > Chương 3

Bài học 2: Tích phân

Tìm hiểu về sự tích lũy

Tích phân xác định được hiểu là sự tích lũy của các đại lượng. Tại sao khái niệm này lại được hiểu như vậy? Làm sao ta có thể áp dụng khái niệm này vào các tình huống thực tế?

Tích phân xác định có thể được dùng để biểu diễn thông tin về sự tích lũy và sự thay đổi ròng trong một số tình huống. Hãy cùng tìm hiểu cách áp dụng tích phân xác định vào tình huống thực tế.

Tìm hiểu về sự tích lũy trong một tình huống thực tế

Hãy tưởng tượng một bể nước đang được xả đầy với tốc độ là

5 L/phút

(lít trên phút) trong

6 phút

. Chúng ta có thể tìm thể tích nước (đơn vị

L

) bằng cách nhân thời gian chảy với tốc độ chảy:

\begin{aligned} Thể tích & = Thời gian \times Tốc độ \\ = 6 phút \cdot 5 \frac{L}{phút} \\ = 30 \frac{phút \cdot L}{phút} \\ = 30 L \end{aligned}

Giờ hãy xem xét tình huống này dưới dạng đồ thị. Tốc độ chảy có thể được biểu diễn bằng hàm hằng

r_{1} (t) = 5

Trục hoành biểu diễn đơn vị phút và trục tung biểu diễn đơn vị lít trên phút, như vậy mỗi hình vuông sẽ biểu diễn đơn vị lít.

Bên cạnh đó, phần diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi đồ thị của

r_{1}

và trục hoành trong khoảng

t = 0

và

t = 6

cho chúng ta biết thể tích nước sau

6

phút:

Hãy tưởng tượng một bể nước khác cũng đang được xả đầy nhưng lần này với tốc độ xả không đều:

r_{2} (t) = 6 \sin (0, 3 t)

Làm cách nào ta có thể tính được thể tích nước ở trong bể này sau

6

phút? Ta hãy áp dụng tổng Riemann để tính diện tích gần đúng của vùng dưới đường cong trong khoảng từ

t = 0

đến

t = 6

. Để dễ dàng tính toán hơn, ta hãy dựng hình chữ nhật có chiều rộng là

1

đơn vị (phút).

Ta thấy mỗi hình chữ nhật biểu diễn một phần thể tích tính bằng lít. Cụ thể, mỗi hình chữ nhật trong tổng Riemann này có giá trị diện tích xấp xỉ thế tích nước được xả vào bể trong mỗi phút. Tổng hoặc tích lũy diện tích của tát cả các hình chữ nhật phần diện tích là giá trị gần đúng của thể tích nước sau

6

phút.

Dựng càng nhiều hình chữ nhật với chiều rộng càng nhỏ thì kết quả cho được càng gần với thể tích thực tế. Nếu ta dựng vô số hình chữ nhật rồi tìm tổng diện tích các hình chữ nhật đó, vậy tổng diễn tích sẽ biểu diễn được dưới dạng tích phân xác định

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t

. Có nghĩa là thể tích nước chính xác sau

6

phút bằng diện tích của vùng được giới hạn bởi đồ thị

r_{2}

và trục hoành trong khoảng từ

t = 0

đến

t = 6

Như vậy, bằng cách áp dụng tích phân, ta đã tính được thể tích nước sau

6

phút:

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24.5 L

Tích phân xác định: tốc độ thay đổi của một đại lượng cho ta biết sự thay đổi ròng của đại lượng đó.

Trong ví dụ chúng ta vừa thấy, ta đã biểu diễn tốc độ, cụ thể là tốc độ nước chảy trong một phút, dưới dạng một hàm số. Dựa vào tích phân xác định của hàm số đó, ta biết được sự tích lũy hoặc tổng thể tích nước - đại lượng có tốc độ được cho trước.

Một đặc điểm quan trọng nữa ở đây là phần chênh lệch thời gian của một tích phân xác định. Trong tình huống của chúng ta, phần chênh lệch thời gian là phần ban đầu

(t = 0)

và

6

phút sau

(t = 6)

. Vậy tích phân xác định này cho ta sự tổng thay đổi của lượng nước trong bể giữa

t = 0

và

t = 6

Tích phân xác định thường được định nghĩa như sau: tích phân xác định cho biết sự tích lũy của một đại lượng, dựa vào đó, ta cũng biết được sự thay đổi ròng của đại lượng đó.

Tại sao lại là sự "thay đổi ròng" của một đại lượng mà không phải là giá trị của đại lượng đó?

Quay lại ví dụ trên, ta không biết là trong bể có nước trước

t = 0

hay không. Nếu bể nước không có nước, thì

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24.5 L

là tổng lượng nước thực tế có trong bể sau

6

phút. Nhưng nếu trong bể đã có nước, giả sử là

7

lít nước, thì thể tích nước thực tế có trong bể sau

6

phút sẽ là:

\underset{Thể tích khi t = 0}{\underset{⏟}{7}} + \overset{Sự thay đổi thể tích trong khoảng từ t = 0 tới t = 6}{\overset{⏞}{\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t}}

Kết quả gần đúng là

7 + 24.5 = 31.5 L

Ghi nhớ: Một tích phân xác định cho ta biết thay đổi tổng ròng của một đại lượng, không phải giá trị thực sự của đại lượng đó. Để tìm ra giá trị thực sự của đại lượng, ta cần thêm điều kiện ban đầu vào tích phân xác định.

Bài 1.A

Dạng bài 1 sẽ cung cấp hướng dẫn cụ thể cách phân tích một tình huống có yếu tố tích lũy:

Tại thời điểm

t

, một quần thể vi khuẩn sinh trưởng với tốc độ

r (t)

gam trên ngày, với

t

là đơn vị ngày.

Đáp án nào sau đây là đơn vị của đại lượng được biểu diễn bởi tích phân xác định $\int_{0}^{8} r (t) d t$ ‍?

Lỗi thường gặp: Sử dụng sai đơn vị

Đơn vị đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Hãy nhớ rằng nếu hàm số biểu diễn tốc độ

r

được viết là

\frac{Đại lượng A}{Đại lượng B}

, thì tích phân xác định của nó được tính theo

Đại lượng A

Ví dụ, trong dạng Bài 1,

r

bằng

\frac{gram}{ngày}

, và do vậy tích phân xác định của

r

được tính bằng

gram

Bài 2

Yến đi bộ với tốc độ

r (t)

ki-lô-mét mỗi giờ (

t

là đơn vị giờ).

$\int_{2}^{3} r (t) d t = 6$ ‍ cho biết điều gì?

(Đáp án A)
Yến đi bộ $6$ ‍ ki-lô-mét mỗi giờ
(Đáp án B)
Yến đi bộ $6$ ‍ ki-lô-mét trong $3$ ‍ giờ.
(Đáp án C)
Yến đi được $6$ ‍ ki-lô-mét trong tiếng đồng hồ thứ ba.
(Đáp án D)
Yến tăng tốc độ đi bộ thêm $6$ ‍ ki-lô-mét trên giờ từ tiếng thứ $2$ ‍ đến tiếng thứ $3$ ‍.

Lỗi thường gặp: Nhầm lẫn về khoảng giá trị của tích phân

Cho mọi hàm số

r

, tích phân xác định

\int_{a}^{b} r (t) d t

cho biết sự tích lũy của các giá trị hàm số từ $t = a$ ‍ đến $t = b$ ‍.

Một lỗi thường gặp là người giải quên một trong hai giới hạn (thường là giới hạn ở dưới), dẫn đến việc giải sai bài toán.

Ví dụ, trong Bài 2, nhận định

\int_{2}^{3} r (t) d t

là quãng đường Yến đi trong

3

giờ là sai. Phần giới hạn dưới là

2

, nên

\int_{2}^{3} r (t) d t

là quãng đường Yến đi từ tiếng thứ

2^{}

đến tiếng thứ

3^{}

. Bên cạnh đó, trong trường hợp khoảng chênh lệch thời gian bằng đúng một đơn vị, ta có thể nói: "Đó là quãng đường Yến đi trong tiếng đồng hồ thứ

3

Bài 3

Doanh thu của Dương là

r (t)

ngàn đô la mỗi tháng (trong đó

t

là tháng của năm). Dương kiếm được

3

ngàn đô la vào tháng đầu tiên của năm.

$3 + \int_{1}^{5} r (t) d t = 19$ ‍ cho biết điều gì?

(Đáp án A)
Dương kiếm được thêm $19$ ‍ ngàn đô la giữa tháng thứ $1$ ‍ và tháng thứ $5$ ‍.
(Đáp án B)
Dương kiếm được trung bình $19$ ‍ nghìn đô mỗi tháng.
(Đáp án C)
Dương kiếm được $19$ ‍ ngàn đô trong tháng thứ năm.
(Đáp án D)
Đến cuối tháng thứ năm, Dương kiếm được tổng cộng $19$ ‍ ngàn đô la.

Lỗi thường gặp: Quên điều kiện ban đầu

Cho hàm tỷ lệ

f

và nguyên hàm

F

, tích phân xác định

\int_{a}^{b} f (t) d t

cho biết thay đổi ròng của

F

từ

t = a

đến

t = b

. Nếu ta thêm điều kiện ban đầu, ta sẽ thu được giá trị thực của

F

Ví dụ, ở Bài 3,

\int_{1}^{5} r (t) d t

biểu diễn sự thay đổi trong doanh thu của Dương từ tháng thứ

1^{}

đến tháng thứ

5^{}

. Nhưng ta thêm

3

vào vì đây là doanh thu mà Dương đã có từ tháng thứ

1^{st}

, vậy nên biểu thức bây giờ biểu diễn tổng số tiền Dương có ở tháng thứ

5^{th}

Kết hợp việc áp dụng dụng tốc độ thay đổi

Trong phép tính vi phân, chúng ta biết rằng đạo hàm

f^{'}

của hàm số

f

cho biết tốc độ thay đổi tức thời của

f

tại một điểm cho trước. Ngược lại, với bất kì hàm tốc độ

f

nào, nguyên hàm

F

sẽ biểu diễn giá trị tích lũy mà tốc độ của sự tích lũy ấy được biểu diễn bởi

f

	Đại lượng	Công suất
Vi phân	$f (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍
Tích phân	$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍	$f (x)$ ‍

Bài 4

Hàm

k (t)

cho biết lượng sốt cà chua (đơn vị ki-lô-gam) được sản xuất ở nhà máy trong

t

(giờ) trong một ngày bất kỳ.

$\int_{0}^{4} k^{'} (t) d t$ ‍ cho biết điều gì?

(Đáp án A)
Lượng sốt cà chua sản xuất được trong suốt $4$ ‍ giờ đầu tiên.
(Đáp án B)
Tốc độ sản xuất tại $t = 4$ ‍.
(Đáp án C)
Thời gian cần để sản xuất $4$ ‍ ki-lô-gam sốt cà chua.
(Đáp án D)
Thay đổi trong tốc độ sản xuất sốt cà chua trong $4$ ‍ tiếng đầu tiên.

Muốn luyện tập thêm? Hãy giải bài tập sau.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.