Nội dung chính

Khóa học: Thống kê và xác suất 1 > Chương 2

Bài học 6: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu dữ liệu không ghép nhóm

Ôn tập: Độ lệch chuẩn

Trả lời sáu câu hỏi để nắm vững hơn kiến thức về độ lệch chuẩn.

Giới thiệu

Các câu hỏi dưới đây sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về độ lệch chuẩn và công thức tính độ lệch chuẩn.

Không giống như hầu hết các câu hỏi trên Khan Academy, một số câu hỏi dưới đây không được chấm bằng máy tính. Bạn sẽ học được nhiều nhất khi cố gắng tự trả lời từng câu hỏi trước khi nhấn vào nút "Giải thích".

Công thức (dùng để tham khảo)

Công thức tính độ lệch chuẩn (s):

$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

Trong đó,

\sum

là kí hiệu tổng,

x

là số liệu trong mẫu,

\bar{x}

là số trung bình cộng của mẫu,

n

là số các số liệu trong mẫu.

Câu 1

Cho mẫu số liệu

{1; 4; 7; 2; 6}

Độ lệch chuẩn thay đổi như thế nào khi thay $7$ ‍ bằng $12$ ‍?

Làm thế nào để suy ra kết quả này từ công thức tính độ lệch chuẩn?

Độ lệch chuẩn thay đổi như thế nào?

Độ lệch chuẩn tăng vì các số liệu trở nên phân tán hơn:

Làm thế nào để suy ra kết quả này từ công thức?

Nhìn vào công thức

$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

ta thấy,

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

là tổng bình phương của các hiệu giữa mỗi số liệu với số trung bình cộng. Do các số liệu trở nên phân tán hơn, giá trị của

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

tăng.

Độ lệch chuẩn của từng mẫu số liệu là bao nhiêu?

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu

{1; 2; 4; 6; 7}

là xấp xỉ

2, 28

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu

{1; 2; 4; 6; 12}

là xấp xỉ

3, 90

Câu 2

Ta có thể tạo một mẫu số liệu có $4$ ‍ số liệu và có độ lệch chuẩn bằng $0$ ‍ không?

Nếu có thể, hãy thử nhé! Bạn có thể tạo ra hai mẫu số liệu khác nhau đáp ứng yêu cầu trên không? Ba mẫu số liệu thì sao?

Câu trả lời là: Có!

Trên thực tế, có vô số mẫu số liệu thỏa mãn.

Đây là một ví dụ:

$5, 5, 5, 5$ ‍

Đây là một mẫu số liệu khác cũng thỏa mãn:

$8, 8, 8, 8$ ‍

Bất kỳ mẫu số liệu nào có tất cả các số liệu giống nhau đều có độ lệch chuẩn bằng

0

vì hiệu giữa mỗi số liệu và số trung bình cộng đều bằng

0

Hãy thử tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ${5; 5; 5; 5}$ ‍.

Bước 1: Tính số trung bình cộng

\bar{x} = \frac{5 + 5 + 5 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5

Bước 2: Tính bình phương của hiệu giữa từng số liệu và số trung bình cộng

$x$ ‍		$\| x - \bar{x} \|^{2}$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍

Bước 3: Áp dụng công thức

\begin{aligned} s & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}} \\ = \sqrt{\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}} \\ = \sqrt{\frac{0}{4}} \\ = \sqrt{0} \\ = 0 \end{aligned}

Câu 3

Độ lệch chuẩn có thể là một giá trị âm không?

Tại sao? Gợi ý: Hãy nghiên cứu công thức.

Không, độ lệch chuẩn không thể là một giá trị âm!

Để biết tại sao, hãy nhìn tử số và mẫu số bên dưới căn thức:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

n

luôn dương vì n là số các số liệu, ta không thể có số các số liệu là số âm.

\sum | x - \bar{x} |^{2}

bao gồm các số hạng đã được bình phương. Bình phương của một số luôn là một số không âm.

Vì cả mẫu và tử đều dương nên toàn bộ biểu thức cũng phải dương.

Câu 4

Độ lệch chuẩn là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu.

Bạn nghĩ từ độ lệch (tiếng Anh: deviation) ở đây có nghĩa là gì?

Trong ngôn ngữ hàng ngày, deviation có thể được dịch là chệch hướng, lạc lối. Từ này miêu tả sự khác biệt của một thứ gì đó, một điều gì đó so với tiêu chuẩn được coi là bình thường.

Trong thống kê, khi nói về các số đặc trưng đo mức độ phân tán, độ lệch (deviation) là chênh lệch giữa một số liệu với số trung bình cộng.

Câu 5

Dưới đây là công thức tính độ lệch chuẩn và độ lệch tuyệt đối trung bình, là hai số đặc trưng đo mức độ phân tán:

$độ lệch chuẩn = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

$độ lệch tuyệt đối trung bình = \frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |}{n}$ ‍

Đâu là điểm giống và khác giữa hai công thức?

Điểm giống nhau là gì?

Cả hai công thức đều dựa trên hiệu giữa mỗi số liệu và số trung bình cộng

| x - \bar{x} |

và đều bao gồm phép chia cho số các số liệu

n

Điểm khác nhau là gì?

Điểm khác biệt giữa hai công thức trên là khi tính độ lệch chuẩn, chúng ta bình phương hiệu giữa mỗi số liệu và số trung bình cộng, cuối cùng lấy căn bậc hai.

Công thức nào tốt hơn?

Công thức độ lệch chuẩn phức tạp hơn, tuy nhiên độ lệch chuẩn có một số tính chất hữu ích khiến nó trở thành số đặc trưng ưa thích của các chuyên viên thống kê.

Câu 6

Đây là công thức mà ta đã sử dụng để tính độ lệch chuẩn:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

Đây là công thức mà các chuyên viên thống kê sử dụng:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Hai công thức này có tương đương nhau không?

Điểm khác biệt giữa hai công thức là gì?

Trong công thức mà chúng ta thường sử dụng, ta lấy giá trị tuyệt đối của

x - \bar{x}

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} {| x - \bar{x} |}^{2}}{n}}$ ‍

Trong công thức mà các chuyên viên thống kê sử dụng, họ đặt

x - \bar{x}

trong dấu ngoặc:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Hai công thức có tương đương nhau không?

Có, cả hai công thức đều tương đương nhau!

Bình phương của một số luôn là một giá trị không âm, vì vậy ta có thể không sử dụng dấu giá trị tuyệt đối, thay vào đó chỉ sử dụng dấu ngoặc đơn.

Ví dụ: Tính

| x - \bar{x} |^{2}

và

(x - \bar{x})^{2}

với

x = 2

và

\bar{x} = 5

$| x - \bar{x} |^{2} = | 2 - 5 |^{2} = | - 3 |^{2} = 3^{2} = 9$ ‍

$(x - \bar{x})^{2} = (2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ ‍

Cả hai kết quả đều dương và đều bằng

9

! Vậy hai cách tính tương đương nhau!

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.