Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 9 (Việt Nam) > Chương 6

Bài học 2: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Tìm hiểu về công thức nghiệm của phương trình bậc hai và cách sử dụng công thức này trong các phương trình bậc hai.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là công thức thường được sử dụng trong toán học để giúp ta giải phương trình bậc hai dễ dàng hơn. Bạn nên học thuộc công thức hữu ích này để áp dụng trong các bài toán giải phương trình bậc hai. Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm hiểu thêm về nguồn gốc của công thức này và luyện cách ứng dụng nó trong các bài tập ở video tiếp theo.
Giả sử ta có phương trình tổng quát như sau:

a x^{2} + b x + c = 0

Với phương trình bậc hai có dạng như trên, công thức nghiệm sẽ giúp bạn tìm ra nghiệm của phương trình, tức là các giá trị của

x

thỏa mãn phương trình đó.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Bạn có thể cảm thấy công thức này thật phức tạp, nhưng chúng ta sẽ nhanh chóng quen thuộc với nó thôi!
Cùng luyện tập sử dụng công thức nào.

Ví dụ mẫu

Trước tiên, chúng ta cần xác định các giá trị a, b và c (các hệ số). Ở bước thứ nhất, ta cần đảm bảo phương trình đang ở dạng tổng quát

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ là hệ số của $x^{2}$ ‍, nên với phương trình này, ta có $a = 1$ ‍ (Lưu ý: $a$ ‍ không thể bằng $0$ ‍ -- vì khi đó, hạng tử chứa $x^{2}$ ‍ sẽ bị triệt tiêu và phương trình không còn là phương trình bậc hai).
$b$ ‍ là hệ số của $x$ ‍, nên ta có $b = 4$ ‍.
$c$ ‍ là hằng số, hay chính là hạng tử không chứa $x$ ‍, nên ta có $c = - 21$ ‍.

Sau đó, chúng ta thay

a

b

và

c

vào trong công thức:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

Rút gọn phương trình trên ta được:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Vậy

x = 3

hoặc

x = - 7

Nghiệm của phương trình cho ta biết điều gì?

Nếu ta có một hàm số được cho bởi một phương trình bậc hai, thì hai nghiệm của phương trình chính là tọa độ x của giao điểm giữa đồ thị hàm số với trục hoành. Đồ thị hàm số cho bởi phương trình

x^{2} + 3 x - 4 = 0

sẽ có dạng như sau:

nghiệm của phương trình bậc hai, hay hoành độ của giao điểm giữa đồ thị hàm số được cho bởi phương trình và trục hoành, là

x = - 4

và

x = 1

Vậy tại sao chúng ta cần ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình bậc hai, sau khi chúng ta đã học nhiều cách giải như phân tích đa thức thành nhân tử hay biến một vế thành bình phương?

Đó là vì công thức nghiệm của phương trình bậc hai sẽ giúp ta giải những phương trình phức tạp hơn ví dụ ta vừa xét.

Ví dụ mẫu 2

Chúng ta cùng thử áp dụng công thức này để giải một phương trình mà ta không áp dụng được phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Trước tiên, ta chuyển tất cả các hạng tử về vế trái như dạng tổng quát:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Áp dụng công thức, ta có:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Chúng ta biết rằng trong chương trình cấp hai, ta không thể lấy căn bậc hai của một số âm, nên phương trình này không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là khi ta có một hàm số được cho bởi phương trình này, thì đồ thị của hàm số đó sẽ không có điểm nào có

y = 0

, hay đồ thị của hàm số đó sẽ không giao với trục hoành. Chúng ta có thể thấy điều đó khi nhìn vào đồ thị được vẽ trên máy tính:

Bây giờ, bạn đã nắm được kiến thức căn bản về công thức nghiệm của phương trình bậc hai!
Bạn có thể xem thêm các ví dụ mẫu khác trong các video.

Lưu ý khi sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình phải ở đúng dạng: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍ trước khi áp dụng công thức!
Khi áp dụng công thức, ta phải lấy căn cho toàn bộ biểu thức $(b^{2} - 4 a c)$ ‍ và $2 a$ ‍ là mẫu của toàn bộ biểu thức trên tử
Chú ý đến số âm: $b^{2}$ ‍ không thể là số âm. Do đó, nếu $b$ ‍ mang giá trị âm, bạn cần chắc chắn rằng khi bình phương nó lên, kết quả sẽ là số dương, vì bình phương của một số âm hay số không âm thì đều là một số không âm
Lưu ý dấu $+ / -$ ‍ và luôn chú ý rằng phương trình có thể có HAI nghiệm
Nếu bạn dùng máy tính, đáp án có thể được làm tròn. Nếu đề bài yêu cầu đáp án chính xác (thông thường đề bài sẽ yêu cầu như vậy) hoặc khi khó rút gọn căn bậc hai, hãy giữ nguyên căn bậc hai trong đáp án, ví dụ như: $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ và $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

Hoạt động tiếp theo:

Luyện tập sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Xem ví dụ:

Video wrapper của Khan Academy

Xem phụ đề video

Chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Video wrapper của Khan Academy

Proof of the quadratic formulaXem phụ đề video

Bạn muốn tham gia vào cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài viết nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.