Nội dung chính

Rút gọn phân thức (nâng cao)

Bạn đã học được những điều cơ bản về rút gọn phân thức chưa? Tuyệt! Hãy thu thập thêm kinh nghiệm với các ví dụ phức tạp hơn.

Kiến thức cần nắm vững

Một phân thức là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0. Một phân thức được xem là tối giản nếu tử và mẫu không có bất kỳ thừa số chung nào.

Nếu bạn chưa biết kiến thức này, bạn nên xem giới thiệu về rút gọn phân thức.

Mục tiêu bài học

Trong bài học này, bạn sẽ được luyện tập rút gọn các phân thức phức tạp hơn. Hãy cùng nhìn vào hai ví dụ, và sau đó bạn có thể thử một số bài toán!

Ví dụ 1: Rút gọn $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

Ở đây, chúng ta cần chú ý rằng khi tử là một đơn thức thì chúng ta cũng có thể phân nó thành nhân tử.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng $x \neq 0$ ‍ và $x \neq 9$ ‍.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Chúng ta viết phân thức đã cho dưới dạng tối giản như sau:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍ với $x \neq 0$ ‍

Bài học rút ra

Trong ví dụ này, chúng ta thấy đôi khi chúng ta sẽ phải phân tích các đơn thức thành nhân tử để rút gọn một phân thức.

Vận dụng

1) Rút gọn $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

$\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)}$ ‍

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng $x \neq 0$ ‍ và $x \neq \frac{3}{4}$ ‍.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)} & = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{2}{x (4 x - 3)} \end{aligned}$ ‍

Bước 4: Kết quả cuối cùng

$\frac{2}{x (4 x - 3)}$ ‍

Chú ý rằng phân thức gốc yêu cầu $x \neq 0; \frac{3}{4}$ ‍. Phân thức tối giản cũng có điều kiện xác định giống như vậy. Chúng ta không cần thêm điều kiện xác định nào nữa.

Ví dụ 2: Rút gọn $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

Mặc dù tử và mẫu có vẻ không có bất kỳ nhân tử chung nào nhưng thực chất,

x - 3

và

3 - x

có liên quan với nhau. Chúng ta có thể đặt nhân tử chung

- 1

ở tử để làm xuất hiện nhân tử chung

x - 3

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} Tính chất giao hoán \end{aligned}

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng

x \neq 3

và

x \neq - 1

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

Bước cuối cùng, nhân

- 1

vào tử, là không cần thiết nhưng cách làm đó rất phổ biến.

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Chúng ta viết dạng rút gọn như sau:

\frac{1 - x}{x + 1}

với

x \neq 3

Bài học rút ra

Các nhân tử

x - 3

và

3 - x

là số đối vì

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

Trong ví dụ này, chúng ta thấy các nhân tử này đã được triệt tiêu bằng cách thêm vào nhân tử

- 1

. Nói cách khác, các nhân tử

x - 3

và

3 - x

được triệt tiêu bằng cách đặt nhân tử chung

-1

Nói chung các nhân tử trái dấu

a - b

và

b - a

sẽ triệt tiêu nhau bằng cách đặt nhân tử chung

- 1

với

a \neq b

Bài tập vận dụng

2) Rút gọn $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

Tử và mẫu đã được phân tích thành nhân tử.

$\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng $x \neq 2$ ‍ và $x \neq - 5$ ‍.

Bước 3: Triệt tiêu các nhân tử trái dấu

Chúng ta có thể triệt tiêu

(x - 2)

và

(2 - x)

bằng cách đặt nhân tử chung

- 1

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} & = \frac{- 1 (x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} \\ = \frac{- 1 (x - 5)}{x + 5} \\ = \frac{5 - x}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Chúng ta viết phân thức đã cho dưới dạng tối giản như sau:

$\frac{5 - x}{x + 5}$ ‍ với $x \neq 2$ ‍

3) Rút gọn $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

với

x \neq

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

$\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}} = \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)}$ ‍

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng $x \neq 0$ ‍ và $x \neq \frac{3}{2}$ ‍.

Bước 3: Triệt tiêu các nhân tử trái dấu

Chúng ta có thể triệt tiêu

(3 - 2 x)

và

(2 x - 3)

bằng cách đặt nhân tử chung

- 1

$\begin{aligned} \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} & = \frac{5 \cdot (- 1) (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} \\ = \frac{- 5}{4 x^{2}} \end{aligned}$ ‍

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Chúng ta viết phân thức dưới dạng tối giản như sau:

$\frac{- 5}{4 x^{2}}$ ‍ với $x \neq \frac{3}{2}$ ‍

Hãy giải thêm một số bài toán

4) Rút gọn $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

$\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x} = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)}$ ‍

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng $x \neq 0$ ‍ và $x \neq \frac{2}{5}$ ‍.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

$\begin{aligned} \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} & = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} \\ = \frac{1}{5 x - 2} \end{aligned}$ ‍

Lưu ý rằng nếu tử được triệt tiêu hoàn toàn, một nhân tử

1

vẫn còn nguyên.

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Chúng ta viết phân thức dưới dạng tối giản như sau:

$\frac{1}{5 x - 2}$ ‍ với $x \neq 0$ ‍

5) Rút gọn $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

với

x \neq

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

Chú ý rằng có một nhân tử chung là

3 x

ở tử. Chúng ta đặt nó làm nhân tử chung, sau đó phân tích tam thức thu được thành nhân tử.

$\begin{aligned} \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3} & = \frac{3 x (x^{2} - 5 x + 4)}{3 (x - 1)} \\ = \frac{3 x (x - 4) (x - 1)}{3 (x - 1)} \end{aligned}$ ‍

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng $x \neq 1$ ‍.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} & = \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} \\ = x (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Chúng ta viết phân thức dưới dạng tối giản như sau:

$x (x - 4)$ ‍ với $x \neq 1$ ‍

6) Rút gọn $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

Chú ý rằng một nhân tử chung là

6 x

ở tử và

3 x

ở mẫu.

$\begin{aligned} \frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}} & = \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Bước 2: Tìm tập xác định

Từ kết quả sau khi phân tích, chúng ta thấy rằng $x \neq 0$ ‍ và $x \neq 2$ ‍.

Bước 3: Triệt tiêu nhân tử chung và các nhân tử trái dấu

Chú ý rằng chúng ta có thể viết

6 x

thành

2 \cdot 3 x

. Sau đó, chúng ta có thể triệt tiêu

3 x

ở cả tử và mẫu.

$\begin{aligned} \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} & = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Tiếp theo, chúng ta triệt tiêu các nhân tử trái dấu

(x - 2)

và

(2 - x)

bằng cách đặt nhân tử chung

- 1

$\begin{aligned} = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (- 1) (x - 2)}{(2 - x)} \\ = - 2 \end{aligned}$ ‍

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Chúng ta viết phân thức dưới dạng tối giản như sau:

$- 2$ ‍ với $x \neq 0, 2$ ‍

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 2

Kiến thức cần nắm vững

Mục tiêu bài học

Ví dụ 1: Rút gọn 10x32x2−18x‍

Bài học rút ra

Vận dụng

Ví dụ 2: Rút gọn (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)‍

Bài học rút ra

Bài tập vận dụng

Hãy giải thêm một số bài toán

Tham gia cuộc thảo luận?

Ví dụ 1: Rút gọn $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Ví dụ 2: Rút gọn $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍