If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 2

Bài học 2: Rút gọn phân thức
Toán
Toán lớp 8 (Việt Nam)
Phân thức đại số
Rút gọn phân thức
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Rút gọn phân thức

Google Classroom
Chúng ta sẽ tìm hiểu cách rút gọn phân thức.

Kiến thức cần nắm trước khi bắt đầu bài học

Một phân thức là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
Ví dụ: tập xác định của phân thức start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction bao gồm tất cả các số thực ngoại trừ start text, negative, 1, end text, hay x, does not equal, minus, 1.
Nếu kiến thức này mới với bạn thì hãy xem bài học giới thiệu về phân thức.
Bạn cũng cần biết cách phân tích đa thức thành nhân tử trước khi bắt đầu bài học này.

Mục tiêu bài học

Trong bài viết này, chúng ta sẽ học cách rút gọn phân thức thông qua một số ví dụ.

Giới thiệu

Một phân thức được xem là tối giản nếu tử và mẫu không có bất kỳ thừa số chung nào.
Ta có thể rút gọn phân thức tương tự như cách ta rút gọn phân số.
Ví dụ, dạng tối giản của start fraction, 6, divided by, 8, end fraction là start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Chú ý cách chúng ta loại bỏ thừa số chung là 2 khỏi tử và mẫu:
68=2⋅32⋅4=2⋅32⋅4=34\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{\tealE{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealE{\cancel{2}}\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{3}{4} \end{aligned}

Ví dụ 1: Rút gọn start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
Cách duy nhất để thấy được các nhân tử chung của tử và mẫu là phân tích chúng thành nhân tử!
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
Bước 2: Tìm tập xác định
Chúng ta sẽ tìm điều kiện xác định của x ở bước này. Chúng sẽ được áp dụng cho phân thức tối giản.
Vì mẫu không thể bằng 0, ta có start color #0c7f99, x, does not equal, 0, end color #0c7f99 và start color #7854ab, x, does not equal, minus, 5, end color #7854ab.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Chúng ta có thể thấy tử và mẫu có một nhân tử chung là x. Chúng ta chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned} \dfrac{\tealE x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealE {\cancel {x}}(x+3)}{\tealE{\cancel x}(x+5)} \\\\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Bước 4: Kết quả cuối cùng
Vì điều kiện xác định của phân thức gốc là x, does not equal, 0, comma, minus, 5 nên phân thức tối giản cũng phải có cùng điều kiện xác định.
Vì điều này, chúng ta phải lưu ý rằng x, does not equal, 0. Tuy nhiên, chúng ta không cần phải lưu ý rằng x, does not equal, minus, 5 vì điều này được ngầm hiểu thông qua phân thức đã cho.
Kết luận được rằng phân thức tối giản được viết như sau:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction với x, does not equal, 0

Một vài lưu ý về các phân thức bằng nhau

Phân thức gốcPhân thức tối giản
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fractionstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction với x, does not equal, 0
Hai phân thức trên bằng nhau. Điều này có nghĩa là giá trị của chúng bằng nhau khi ta thay vào cùng một giá trị x. Bảng dưới đây biểu diễn điều trên khi x, equals, 2.
Phân thức gốcPhân thức tối giản
Giá trị của phân thức tại start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{2})^2+3(\purpleD{2})}{(\purpleD{2})^2+5(\purpleD{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleD{{2}}\cdot 5}{\purpleD{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{2}+3}{\purpleD{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
Lưu ýKết quả được rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung start color #7854ab, 2, end color #7854ab.Kết quả đã tối giản vì x (trong trường hợp này start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab), đã được triệt tiêu trong quá trình rút gọn.
Vì lý do này, hai phân thức có giá trị bằng nhau khi cho các giá trị đầu vào giống nhau. Tuy nhiên, các giá trị làm cho phân thức gốc không xác định thường phá vỡ quy tắc này. Chú ý trường hợp này với start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab.
Phân thức gốcPhân thức tối giản (không có giới hạn nào)
Giá trị của biểu thức tại start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=khoˆng xaˊc định\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{0})^2+3(\purpleD{0})}{(\purpleD{0})^2+5(\purpleD{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{không xác định}\end{aligned}0+30+5=35undefined\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{0}+3}{\purpleD{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{undefined}}\end{aligned}
Vì hai phân thức phải có giá trị bằng nhau khi ta thay mỗi giá trị đầu vào giống nhau vào hai phân thức, chúng ta cần có điều kiện xác định x, does not equal, 0 cho phân thức tối giản.

Chú ý những điểm dễ nhầm lẫn

Chú ý rằng chúng ta không thể triệt tiêu x trong phân thức dưới đây. Đó là vì chúng là những số hạng chứ không phải những nhân tử của các đa thức!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Điều này trở nên rõ ràng khi nhìn vào biểu thức ví dụ. Ví dụ, giả sử start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab.
start fraction, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 3, divided by, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Theo quy tắc, chúng ta chỉ có thể triệt tiêu nếu tử và mẫu ở dạng đã phân tích thành nhân tử.

Tóm tắt quá trình rút gọn phân thức

  • Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
  • Bước 2: Tìm tập xác định.
  • Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
  • Bước 4: Rút gọn và lưu ý điều kiện xác định.

Bài tập vận dụng

Bài 1
Rút gọn phân thức start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction.
Chọn 1 đáp án:

Bài 2
Rút gọn phân thức start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.
với x, does not equal
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ví dụ 2: Rút gọn start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Bước 2: Tìm tập xác định
Vì mẫu không thể bằng 0, ta có start color #0c7f99, x, does not equal, minus, 2, end color #0c7f99 và start color #7854ab, x, does not equal, minus, 3, end color #7854ab.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Chú ý rằng tử và mẫu có nhân tử chung là start color #208170, x, plus, 3, end color #208170. Nó có thể bị triệt tiêu.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned} \dfrac{(x-3)\tealE{(x+3)}}{(x+2)\tealE{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealE{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealE{\cancel{(x+3)}}} \\\\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Bước 4: Kết quả cuối cùng
Chúng ta viết dạng rút gọn như sau:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction với x, does not equal, minus, 3
Phân thức gốc yêu cầu x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. Chúng ta không cần để ý x, does not equal, minus, 2 vì điều này được ngầm hiểu từ phân thức trên.

Bài tập vận dụng

Bài 3
Rút gọn phân thức start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.
Chọn 1 đáp án:

Bài 4
Rút gọn phân thức start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction.
với x, does not equal
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.