Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 2

Bài học 3: Phép cộng, phép trừ các phân thức đại số

Phép cộng, trừ phân thức

Bạn đã học được những điều cơ bản về cộng và trừ các phân thức chưa? Tuyệt! Hãy luyện tập thêm với các ví dụ phức tạp hơn.

Kiến thức cần nắm vững trước khi bắt đầu bài học

Một phân thức là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

Để cộng hoặc trừ hai phân số có cùng mẫu, chúng ta cộng hoặc trừ các tử, và giữ nguyên mẫu.

Khi các mẫu không giống nhau, chúng ta cần quy đồng mẫu. Nói cách khác, chúng ta phải tìm một mẫu chung.

Nếu kiến thức này mới với bạn, bạn có thể sẽ muốn xem các bài viết sau trước khi học tiếp:

Nội dung bài học

Trong bài học này, bạn sẽ luyện tập cộng và trừ các phân thức với các mẫu khác nhau. Bạn sẽ sử dụng mẫu chung nhỏ nhất làm mẫu chung trong những ví dụ dưới đây và tìm hiểu vì sao việc đó lại hữu ích.

Bài tập khởi động: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

Để trừ hai phân thức, ta cần quy đồng mẫu.

Trong ví dụ này, chúng ta có thể tìm mẫu chung bằng cách nhân phân thức thứ nhất với

(\frac{x + 1}{x + 1})

và phân thức thứ hai với

(\frac{x - 2}{x - 2})

Sau đó, chúng ta có thể trừ các tử và giữ nguyên mẫu.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

Bài tập vận dụng

Bài 1

Tính.
Tử nên được khai triển và rút gọn. Mẫu nên được khai triển hoặc phân tích thành nhân tử.

\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =

Mẫu chung nhỏ nhất

Phân số

Đôi khi, các mẫu của hai phân số khác nhau nhưng lại có các nhân tử chung.

Ví dụ, tính

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}

Chú ý rằng mẫu chung được sử dụng trong ví dụ này không phải là tích của hai mẫu (

24

). Thay vào đó, nó là bội chung nhỏ nhất của

4

và

6

(

12

Bội chung nhỏ nhất

(BCNN)

của hai số nguyên là số nhỏ nhất chia hết cho cả hai số nguyên đó.

Khi hai số nguyên không có nhân tử chung thì

BCNN

chỉ đơn giản bằng tích của những số nguyên đó. Tuy nhiên, khi hai số nguyên có nhân tử chung thì

BCNN

không bằng tích của hai số nguyên đó. Đó là vì nhân tử chung chỉ xuất hiện một lần trong

BCNN

. Ví dụ:

$4$ ‍ và $6$ ‍ có một nhân tử chung là $2$ ‍, vậy nên $BCNN$ ‍ của $4$ ‍ và $6$ ‍ là $12$ ‍ chứ không phải là $4 \cdot 6 = 24$ ‍
$6$ ‍ và $15$ ‍ có một nhân tử chung là $3$ ‍, vậy nên $BCNN$ ‍ của $6$ ‍ và $15$ ‍ là $30$ ‍ chứ không phải là $6 \cdot 15 = 90$ ‍

Bội chung nhỏ nhất của các mẫu của hai hay nhiều hơn hai phân thức được gọi là mẫu chung nhỏ nhất.

Một cách đơn giản để tìm mẫu chung nhỏ nhất là nghĩ xem làm cách nào để các mẫu bằng nhau mà không sử dụng các nhân tử không cần thiết. Viết mỗi mẫu dưới dạng thừa số nguyên tố làm cho việc này dễ dàng hơn.

\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \underset{\begin{aligned} Cần có \\ thừa số 3 \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{3}{2 \cdot 2}}} + \underset{\begin{aligned} Cần có \\ thừa số 2 \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2 \cdot 3}}}

Chú ý rằng

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

Phân thức

Bây giờ, hãy áp dụng các lý thuyết đó để thực hiện phép cộng sau đây:

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Đầu tiên, hãy tìm mẫu chung nhỏ nhất:

\underset{\begin{aligned} Cần có \\ thừa số \\ (x + 3) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}}} + \underset{\begin{aligned} Cần có \\ thừa số \\ (x - 2) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{3}{(x + 1) (x + 3)}}}

Vậy nên mẫu chung nhỏ nhất là

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Chúng ta có thể cộng các phân thức như sau:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Vận dụng

Bài 2

Tính.
Tử nên được khai triển và rút gọn. Mẫu nên được khai triển hoặc phân tích thành nhân tử.

\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =

Bài 3

Tính.
Tử nên được khai triển và rút gọn. Mẫu nên được khai triển hoặc phân tích thành nhân tử.

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =

Bài tập nâng cao

Tính.
Tử nên được khai triển và rút gọn. Mẫu nên được khai triển hoặc phân tích thành nhân tử.

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

Vì sao lại sử dụng mẫu chung nhỏ nhất?

Bạn có thể thắc mắc là vì sao sử dụng mẫu chung nhỏ nhất lại quan trọng đến vậy khi chúng ta cộng hoặc trừ các phân thức.

Sau cùng, đây không phải là một điều kiện bắt buộc, và chúng ta có thể dễ dàng sử dụng các mẫu khác với phân số.

Ví dụ, bảng bên dưới làm phép tính

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

sử dụng hai mẫu chung khác nhau: một bên dùng mẫu chung nhỏ nhất (

12

) và một bên dùng tích của hai mẫu (

24

Mẫu chung nhỏ nhất ( $12$ ‍)	Mẫu chung ( $24$ ‍)
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Chú ý rằng khi sử dụng

24

làm mẫu chung, chúng ta phải thực hiện nhiều bước hơn. Số sẽ lớn hơn và kết quả cần được rút gọn.

Điều này cũng xảy ra nếu bạn không sử dụng mẫu chung nhỏ nhất khi cộng hoặc trừ các phân thức.

Tuy nhiên, với các phân thức, quy trình này sẽ khó hơn vì cả tử và mẫu đều là đa thức thay vì số nguyên! Bạn phải tính toán các đa thức bậc cao hơn và phân tích đa thức để rút gọn phân số.

Hãy nhớ lại bài toán sau.

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Giả sử chúng ta thu được một mẫu chung bằng cách nhân tử và mẫu của phân thức thứ nhất với mẫu của phân thức thứ hai và nhân tử và mẫu của phân thức thứ hai với mẫu của phân thức thứ nhất. Chú ý rằng đây là một mẫu chung nhưng không phải là mẫu chung nhỏ nhất.

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}) \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} + \frac{3 (x - 2) (x + 1)}{(x + 1)^{2} (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3) + 3 (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3) + 3 (x^{2} - x - 2)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 x^{2} + 8 x + 6 + 3 x^{2} - 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \end{aligned}

Biểu thức này không giống với biểu thức ta có được khi làm phép cộng sử dụng mẫu chung nhỏ nhất. Đó là vì ta còn phải tối giản chúng:

\begin{aligned} \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Chú ý rằng đến cuối cùng, bạn vẫn thu được kết quả chính xác bằng cách này, nhưng nó vẫn còn đòi hỏi rất nhiều bước.

Tất cả những bước làm thêm này có thể được lược bỏ bằng cách sử dụng mẫu chung nhỏ nhất khi thực hiện cộng hoặc trừ các phân thức.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 2

Kiến thức cần nắm vững trước khi bắt đầu bài học

Nội dung bài học

Bài tập khởi động: 3x−2−2x+1‍

Bài tập vận dụng

Mẫu chung nhỏ nhất

Phân số

Phân thức

Vận dụng

Vì sao lại sử dụng mẫu chung nhỏ nhất?

Tham gia cuộc thảo luận?

Bài tập khởi động: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍