Nội dung chính

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Bài học 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích đa thức bậc 2 thành nhân tử: hệ số cao nhất ≠ 1

Học cách phân tích các đa thức bậc 2 có dạng tích của 2 đa thức bậc 1. Ví dụ, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Một vài điều cần biết trước khi bắt đầu bài học

Phương pháp nhóm hạng tử có thể được sử dụng để phân tích đa thức có 4 hạng tử thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung. Nếu điều này vẫn lạ lẫm với bạn, hãy xem lại bài Hướng dẫn phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Bạn cũng có thể ôn lại bài phân tích đa thức bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 trước khi bắt đầu bài học.

Nội dung bài học

Trong bài này, bạn sẽ học phân tích đa thức bậc hai với hệ số cao nhất khác

1

thành nhân tử, ví dụ như

2 x^{2} + 7 x + 3

Ví dụ 1: Phân tích $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ thành nhân tử

Bởi vì hệ số cao nhất của

(2 x^{2} + 7 x + 3)

là

2

, nên chúng ta không thể sử dụng dạng tổng-tích để phân tích đa thức thành nhân tử.

Thay vào đó, để phân tích

2 x^{2} + 7 x + 3

, chúng ta cần tìm 2 số nguyên có tích là

2 \cdot 3 = 6

(hệ số cao nhất nhân hằng số) và có tổng là

7

(hệ số của

x

Bởi vì

1 \cdot 6 = 6

và

1 + 6 = 7

, nên hai số nguyên cần tìm là

1

và

6

[Chúng ta tìm những số này bằng cách nào?]

Hai số này gợi ý cho chúng ta cách phân tích

7 x

. Chúng ta có thể viết đa thức thành

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

Bây giờ chúng ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Nhóm các hạng tử \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Rút thừa số chung lớn nhất ra ngoài \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Nhân tử chung! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Đặt nhân tử chung 2 x + 1 \end{aligned}

Đáp án:

(2 x + 1) (x + 3)

[Nếu chúng ta nhóm hạng tử theo cách khác thì điều gì sẽ xảy ra?]

Chúng ta có thể kiểm tra đáp án bằng cách nhân các biểu thức lại với nhau thành đa thức

2 x^{2} + 7 x + 3

[Mình muốn xem điều này!]

Tóm tắt

Nói tóm lại, chúng ta có thể dùng những bước sau đây để phân tích đa thức bậc hai dạng

a x^{2} + b x + c

thành nhân tử:

Tìm 2 số có tích là $a c$ ‍ và tổng là $b$ ‍.
Dùng những số này để phân tích hạng tử bậc $1$ ‍.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Vận dụng

1) Phân tích đa thức $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍ thành nhân tử.

[Tôi cần trợ giúp!]

2) Phân tích đa thức $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍ thành nhân tử.

[Tôi cần trợ giúp!]

Ví dụ 2: Phân tích $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ thành nhân tử

Để phân tích

6 x^{2} - 5 x - 4

, chúng ta cần tìm 2 số nguyên có tích bằng

6 \cdot (- 4) = - 24

và tống bằng

- 5

Bởi vì

3 \cdot (- 8) = - 24

và

3 + (- 8) = - 5

, những số cần tìm là

3

và

- 8

[Chúng ta tìm những số này như thế nào?]

Bây giờ chúng ta có thể viết

- 5 x

thành tổng của

3 x

và

- 8 x

và dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Nhóm các hạng tử \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Rút thừa số chung lớn nhất \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Rút gọn \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Nhân tử chung! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Đặt nhân tử chung 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Đáp án:

(2 x + 1) (3 x - 4)

Chúng ta có thể kiểm tra đáp án bằng cách nhân các biểu thức lại với nhau thành đa thức

6 x^{2} - 5 x - 4

[Mình muốn xem điều này!]

Lưu ý: Trong bước

(1)

, hạng tử thứ ba có dấu âm nên dấu "+" được đặt ở trước nhóm hạng tử thứ hai. Ở bước

(2)

, chúng ta cần tìm thừa số chung lớn nhất có dấu âm của nhóm hạng tử thứ hai để tìm ra nhân tử chung

2 x + 1

. Hãy cẩn thận với các dấu cộng trừ!

Vận dụng

3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[Tôi cần trợ giúp!]

4) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[Tôi cần trợ giúp!]

5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[Tôi cần trợ giúp!]

Khi nào thì phương pháp này có ích?

Phương pháp này có ích khi ta phân tích đa thức bậc hai dạng

a x^{2} + b x + c

thành nhân tử, ngay cả khi

a \neq 1

Tuy nhiên, không phải đa thức bậc hai nào cũng có thể được phân tích thành nhân tử bằng phương pháp này.

Ví dụ, ta có đa thức

2 x^{2} + 2 x + 1

. Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần tìm 2 số nguyên có tích bằng

2 \cdot 1 = 2

và tổng bằng

2

. Hai số đó không tồn tại.

Cho nên phương pháp trên không sử dụng được với

2 x^{2} + 2 x + 1

và nhiều đa thức bậc 2 khác.

Nên nhớ rằng nếu không áp dụng được phương pháp này, thì đa thức không thể được viết dưới dạng

(A x + B) (C x + D)

trong đó

A

B

C

và

D

là những số nguyên.

Tại sao phương pháp này lại có hiệu quả?

Chúng ta hãy đi sâu vào lý do tại sao phương pháp này lại có hiệu quả.

Giả sử đa thức bậc hai

a x^{2} + b x + c

có thể được viết lại thành

(A x + B) (C x + D)

với những số nguyên

A

B

C

, và

D

Khi nhân hai biểu thức lại với nhau ta có đa thức bậc 2

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

[Mình muốn xem toàn bộ phép nhân!]

Bởi vì biểu thức này bằng

a x^{2} + b x + c

, nên các hệ số tương đương của 2 biểu thức phải bằng nhau! Điều này cho chúng ta mối quan hệ sau:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Định nghĩa

m = B C

và

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Theo định nghĩa

m + n = B C + A D = b

và

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

Vậy nên

B C

và

A D

là 2 số nguyên cần tìm khi chúng ta sử dụng phương pháp này.

Sau khi tìm ra

m

và

n

, chúng ta phân tích hạng tử bậc

1

(b)

theo

m

và

n

và nhóm hạng tử.

Nếu chúng ta phân tích

(B C + A D) x

thành

(B C) x + (A D) x

, chúng ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng

(A x + B) (C x + D)

[Mình muốn xem điều này!]

Kết luận lại, trong phần này chúng ta đã...

bắt đầu với đa thức $a x^{2} + b x + c$ ‍ và dạng $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
chúng ta có thể tìm được 2 số $m$ ‍ và $n$ ‍, trong đó $m n = a c$ ‍ và $m + n = b$ ‍ $($ ‍ $m = B C$ ‍ và $n = A D)$ ‍,
phân tích $b x$ ‍ thành $m x + n x$ ‍, chúng ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

Điều này chứng minh rằng nếu đa thức có thể viết được thành

(A x + B) (C x + D)

thì chắc chắn rằng phương pháp này có hiệu quả trong việc phân tích đa thức thành nhân tử.

Cám ơn bạn đã hoàn thành bài học!

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Một vài điều cần biết trước khi bắt đầu bài học

Nội dung bài học

Ví dụ 1: Phân tích 2x2+7x+3‍ thành nhân tử

Tóm tắt

Vận dụng

Ví dụ 2: Phân tích 6x2−5x−4‍ thành nhân tử

Vận dụng

Khi nào thì phương pháp này có ích?

Tại sao phương pháp này lại có hiệu quả?

Tham gia cuộc thảo luận?

Ví dụ 1: Phân tích $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ thành nhân tử

Ví dụ 2: Phân tích $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ thành nhân tử