Chúng tôi đang gặp khó khăn trong việc tải các tài nguyên bên ngoài có trên trang web.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Nội dung chính

Phân tích đa thức bậc 2 thành nhân tử: hệ số cao nhất ≠ 1

Học cách phân tích các đa thức bậc 2 có dạng tích của 2 đa thức bậc 1. Ví dụ, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Một vài điều cần biết trước khi bắt đầu bài học

Phương pháp nhóm hạng tử có thể được sử dụng để phân tích đa thức có 4 hạng tử thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung. Nếu điều này vẫn lạ lẫm với bạn, hãy xem lại bài Hướng dẫn phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
Bạn cũng có thể ôn lại bài phân tích đa thức bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 trước khi bắt đầu bài học.

Nội dung bài học

Trong bài này, bạn sẽ học phân tích đa thức bậc hai với hệ số cao nhất khác 1 thành nhân tử, ví dụ như 2x2+7x+3.

Ví dụ 1: Phân tích 2x2+7x+3 thành nhân tử

Bởi vì hệ số cao nhất của (2x2+7x+3)2, nên chúng ta không thể sử dụng dạng tổng-tích để phân tích đa thức thành nhân tử.
Thay vào đó, để phân tích 2x2+7x+3, chúng ta cần tìm 2 số nguyên có tích là 23=6 (hệ số cao nhất nhân hằng số) và có tổng là 7 (hệ số của x).
Bởi vì 16=61+6=7, nên hai số nguyên cần tìm là 16.
Hai số này gợi ý cho chúng ta cách phân tích 7x. Chúng ta có thể viết đa thức thành 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Bây giờ chúng ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Nhóm các hạng tử=x(2x+1)+3(2x+1)Rút thừa số chung lớn nhất ra ngoài=x(2x+1)+3(2x+1)Nhân tử chung!=(2x+1)(x+3)Đặt nhân tử chung 2x+1
Đáp án: (2x+1)(x+3).
Chúng ta có thể kiểm tra đáp án bằng cách nhân các biểu thức lại với nhau thành đa thức 2x2+7x+3.

Tóm tắt

Nói tóm lại, chúng ta có thể dùng những bước sau đây để phân tích đa thức bậc hai dạng ax2+bx+c thành nhân tử:
  1. Tìm 2 số có tích là ac và tổng là b.
  2. Dùng những số này để phân tích hạng tử bậc 1.
  3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Vận dụng

1) Phân tích đa thức 3x2+10x+8 thành nhân tử.
Chọn 1 đáp án:

2) Phân tích đa thức 4x2+16x+15 thành nhân tử.

Ví dụ 2: Phân tích 6x25x4 thành nhân tử

Để phân tích 6x25x4, chúng ta cần tìm 2 số nguyên có tích bằng 6(4)=24 và tống bằng 5.
Bởi vì 3(8)=243+(8)=5, những số cần tìm là 38.
Bây giờ chúng ta có thể viết 5x thành tổng của 3x8x và dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Nhóm các hạng tử(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Rút thừa số chung lớn nhất(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Rút gọn(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Nhân tử chung!(5)=(2x+1)(3x4)Đặt nhân tử chung 2x+1
Đáp án: (2x+1)(3x4).
Chúng ta có thể kiểm tra đáp án bằng cách nhân các biểu thức lại với nhau thành đa thức 6x25x4.
Lưu ý: Trong bước (1), hạng tử thứ ba có dấu âm nên dấu "+" được đặt ở trước nhóm hạng tử thứ hai. Ở bước (2), chúng ta cần tìm thừa số chung lớn nhất có dấu âm của nhóm hạng tử thứ hai để tìm ra nhân tử chung 2x+1. Hãy cẩn thận với các dấu cộng trừ!

Vận dụng

3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x23x9.
Chọn 1 đáp án:

4) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x22x5.

5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 6x213x+6.

Khi nào thì phương pháp này có ích?

Phương pháp này có ích khi ta phân tích đa thức bậc hai dạng ax2+bx+c thành nhân tử, ngay cả khi a1.
Tuy nhiên, không phải đa thức bậc hai nào cũng có thể được phân tích thành nhân tử bằng phương pháp này.
Ví dụ, ta có đa thức 2x2+2x+1. Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần tìm 2 số nguyên có tích bằng 21=2 và tổng bằng 2. Hai số đó không tồn tại.
Cho nên phương pháp trên không sử dụng được với 2x2+2x+1 và nhiều đa thức bậc 2 khác.
Nên nhớ rằng nếu không áp dụng được phương pháp này, thì đa thức không thể được viết dưới dạng (Ax+B)(Cx+D) trong đó A, B, CD là những số nguyên.

Tại sao phương pháp này lại có hiệu quả?

Chúng ta hãy đi sâu vào lý do tại sao phương pháp này lại có hiệu quả.
Giả sử đa thức bậc hai ax2+bx+c có thể được viết lại thành (Ax+B)(Cx+D) với những số nguyên A, B, C, và D.
Khi nhân hai biểu thức lại với nhau ta có đa thức bậc 2 (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Bởi vì biểu thức này bằng ax2+bx+c, nên các hệ số tương đương của 2 biểu thức phải bằng nhau! Điều này cho chúng ta mối quan hệ sau:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Định nghĩa m=BCn=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
Theo định nghĩa
m+n=BC+AD=b
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
Vậy nên BCAD là 2 số nguyên cần tìm khi chúng ta sử dụng phương pháp này.
Sau khi tìm ra mn, chúng ta phân tích hạng tử bậc 1 (b) theo mn và nhóm hạng tử.
Nếu chúng ta phân tích (BC+AD)x thành (BC)x+(AD)x, chúng ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng (Ax+B)(Cx+D).
Kết luận lại, trong phần này chúng ta đã...
  • bắt đầu với đa thức ax2+bx+c và dạng (Ax+B)(Cx+D),
  • chúng ta có thể tìm được 2 số mn, trong đó mn=acm+n=b (m=BCn=AD),
  • phân tích bx thành mx+nx, chúng ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng (Ax+B)(Cx+D).
Điều này chứng minh rằng nếu đa thức có thể viết được thành (Ax+B)(Cx+D) thì chắc chắn rằng phương pháp này có hiệu quả trong việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Cám ơn bạn đã hoàn thành bài học!

Tham gia cuộc thảo luận?

Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.