Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Bài học 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Học về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp "nhóm hạng tử". Ví dụ, chúng ta có thể dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích 2x²+8x+3x+12 thành (2x+3)(x+4).

Những điều cần biết trong bài học này:

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Chúng ta đã thấy một số ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử rồi. Tuy nhiên, đối với bài học này, bạn sẽ làm quen với việc đặt nhân tử chung bằng cách sử dụng tính chất phân phối. Ví dụ,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Mục tiêu bài học

Trong bài học này, ta sẽ tìm hiểu cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Ví dụ 1: Phân tích $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Đầu tiên, hãy để ý rằng các hạng tử không có nhân tử chung. Tuy nhiên nếu ta nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối, mỗi nhóm sẽ có nhân tử chung:

\underset{nhóm hai hạng tử đầu}{\underset{⏟}{(2 x^{2} + 8 x)}} + \underset{nhóm hai hạng tử cuối}{\underset{⏟}{(3 x + 12)}}

Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là

2 x

, nhóm thứ hai có nhân tử chung là

3

. Chúng ta có thể viết lại đa thức thành:

2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

Để đưa

2 x

ra ngoài

2 x^{2} + 8 x

, ta chia mỗi hạng tử cho

2 x

Đầu tiên là $\frac{2 x^{2}}{2 x} =$ ‍.
Bước thứ hai sẽ là $\frac{6 x^{4}}{2 x} =$ ‍.

Do đó

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

Để đưa

3

ra ngoài

3 x + 12

, ta chia mỗi hạng tử cho

3

Đầu tiên là: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
Bước thứ hai sẽ là $\frac{6 x^{4}}{3} =$ ‍.

Do đó

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Do đó, kết quả là

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

. Một phép kiểm tra nhân nhanh có thể xác định rằng các nhân tử chung đã được đưa ra ngoài một cách chính xác.

Bây giờ, ta thấy có một nhân tử chung nữa:

x + 4

. Chúng ta có thể sử dụng tính chất phân phối để viết lại đa thức thành:

2 x (x + 4) + 3 (x + 4) = (x + 4) (2 x + 3)

Chúng ta đã hoàn thành việc phân tích đa thức thành nhân tử. Chúng ta có thể kiểm tra kết quả bằng cách thực hiện phép nhân và so sánh với đa thức ban đầu.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Hãy tóm tắt lại những việc cần làm khi phân tích đa thức thành nhân tử.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Nhóm các hạng tử \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Xác định nhân tử chung \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Nhân tử chung! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Đặt nhân tử chung x + 2 \end{aligned}

Chúng ta có

(x + 2) (3 x + 4)

Bài tập vận dụng

1) Phân tích đa thức $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

2) Phân tích đa thức $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

3) Phân tích $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

Ví dụ 3: Phân tích đa thức $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Cần hết sức cẩn thận khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử với đa thức có hệ số âm.

Ví dụ, các bước sau đây sẽ phân tích

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Nhóm các hạng tử \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Xác định nhân tử chung \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Rút gọn \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Nhân tử chung! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Đặt nhân tử chung x - 2 \end{aligned}

Ta có đáp áp

(x - 2) (3 x - 4)

. Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân để kiểm tra kết quả.

Một số bước ở trên có vẻ khác với những gì bạn đã thấy ở ví dụ đầu tiên, vì vậy bạn có thể thấy bối rối.

Dấu "+" giữa các nhóm đến từ đâu?

Trong bước

(1)

, một dấu "+" đã được thêm vào giữa nhóm

(3 x^{2} - 6 x)

và nhóm

(- 4 x + 8)

. Điều này là do hạng tử thứ ba

(- 4 x)

là số âm và dấu của hạng tử phải được bao gồm trong nhóm.

Giữ dấu trừ bên ngoài nhóm thứ hai là một việc khó. Ví dụ: một lỗi phổ biến là nhóm

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

thành

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. Tuy nhiên, nhóm này rút gọn thành

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, không giống như biểu thức ban đầu.

Tại sao lại tính (-4) thay vì là 4?

Trong bước này

(2)

ta sẽ đưa

- 4

ra ngoài, và thấy có nhân tử chung

(x - 2)

. Nếu ta đặt số dương

4

ra ngoài, chúng ta sẽ không xác định được nhân tử chung như đã thấy ở trên:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Khi hạng tử cao nhất trong một nhóm âm, chúng ta thường sẽ cần phải đổi dấu hạng tử.

Bài tập vận dụng

4) Phân tích đa thức $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

5) Phân tích $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

6) Phân tích đa thức $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

Bài tập nâng cao

7*) Phân tích đa thức $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

Khi nào chúng ta sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử?

Phương pháp nhóm hạng tử có thể được sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử khi giữa các nhóm xuất hiện một nhân tử chung.

Ví dụ, ta có thể sử dụng phương nhóm hạng tử để phân tích

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

, vì ta có thể viết lại đa thức thành:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Tuy nhiên chúng ta sẽ không dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

, bởi vì hai nhóm không có nhân tử chung.

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Phân tích đa thức có 3 đơn thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử

Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức có 3 đơn thức như

2 x^{2} + 7 x + 3

. Vì chúng ta có thể viết lại đa thức nhau sau:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Chúng ta sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử để phân tích đa thức

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

bằng

(x + 3) (2 x + 1)

Để hiểu rõ thêm về cách phân tích các đa thức bậc hai thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử, hãy xem bài học tiếp theo.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 8 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 8 (Việt Nam) > Chương 1

Những điều cần biết trong bài học này:

Mục tiêu bài học

Ví dụ 1: Phân tích 2x2+8x+3x+12‍

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3x2+6x+4x+8‍

Bài tập vận dụng

Ví dụ 3: Phân tích đa thức 3x2−6x−4x+8‍

Bài tập vận dụng

Bài tập nâng cao

Khi nào chúng ta sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử?

Phân tích đa thức có 3 đơn thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử

Tham gia cuộc thảo luận?

Ví dụ 1: Phân tích $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Ví dụ 2: Phân tích đa thức $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Ví dụ 3: Phân tích đa thức $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍