Ước và bội

Ước là các số tự nhiên mà một số tự nhiên khác có thể chia hết cho nó.

Các ước giúp ta phân tích một số thành những phần nhỏ hơn. Ta có thể sắp xếp các chấm thành những nhóm bằng nhau để có được hình ảnh về các ước của $12$12.

$12$12 chấm có thể được sắp xếp trong $\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 hàng $\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 chấm.
$\tealC{1 \cdot 12} = 12$start color #01d1c1, 1, dot, 12, end color #01d1c1, equals, 12

$12$12 chấm cũng có thể được sắp xếp trong $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff hàng với $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff chấm mỗi hàng.
$\purpleC{2 \cdot 6} = 12$start color #aa87ff, 2, dot, 6, end color #aa87ff, equals, 12

Hoặc, ta có thể sắp xếp $12$12 chấm trong $\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d hàng với $\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d chấm mỗi hàng.
$\redC{3 \cdot 4} = 12$start color #f9685d, 3, dot, 4, end color #f9685d, equals, 12

Khi ta đã tìm ra tất cả các cách để sắp xếp $12$12 chấm, ta có thể nhìn vào số lượng hàng và số lượng chấm ở mỗi hàng để tìm các ước của $12$12.

$\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, $\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, $\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d, và $\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d đều là ước của $12$12.

Ta có thể tạo thành $12$12 với 1 hàng $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 và 1 hàng $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10. Vậy $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 và $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 có phải ước của $12$12?

Không. $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 và $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 không phải ước vì các chấm không được chia vào các nhóm bằng nhau.

Ta có thể tìm các ước của $16$16 mà không cần vẽ chấm bằng cách nghĩ về các số mà $16$16 chia hết.

$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd là một ước của $16$16 vì $16$16 có thể chia cho $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd mà không còn dư.
$16 \mathbin{:} \blueD{1}= \blueD{16}$16, colon, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
Thương của phép chia, $\blueD{16},$start color #11accd, 16, end color #11accd, comma cũng là một ước của $16$16.

$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 là một ước của $16$16 vì $16$16 có thể chia cho $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 mà không còn dư.
$16 \mathbin{:} \greenD{2}= \greenD{8}$16, colon, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
Thương của phép chia, $\greenD{8}$start color #1fab54, 8, end color #1fab54, cũng là một ước của $16$16.

$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab là một ước của $16$16 vì $16$16 có thể chia cho $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab mà không còn dư.
$16 \mathbin{:} \purpleD{4}= \purpleD{4}$16, colon, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
Thương của phép chia này là $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab, một ước của $16$16.

Các ước của $16$16 là $\blueD{1, 16}$start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, $\greenD{2, 8}$start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54 và $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab.

Các số như $3$3 và $5$5 không phải ước của $16$16 vì $16$16 không chia hết cho chúng.

Tất cả các số đều có ước là $1$1.

$1$1 là ước của $10$10.
$1$1 là ước của $364$364.
$1$1 là ước của $5~787$5, space, 787.

Tất cả các số đều có ước là chính nó.

$41$41 là ước của $41$41.
$128$128 là ước của $128$128.
$4~379$4, space, 379 là ước của $4~379$4, space, 379.

Hai số khi nhân với nhau tạo thành một tích nhất định được gọi là cặp ước. Để có được tích bằng $8$8, ta có thể tính $\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab $\cdot$dot $\purpleD{ 8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab và $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 $\cdot$dot $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Vậy các cặp ước của $8$8 là $\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab và $\purpleD{8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab và $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 và $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54.

Sắp xếp các chấm trong các nhóm bằng nhau giúp ta thấy rằng các ước luôn đi thành cặp. Một ước trong cặp là số hàng. Ước còn lại trong cặp là số chấm trong mỗi hàng.

Hãy tìm các cặp ước của $20$20. Nhớ rằng, ta đang đi tìm hai số tự nhiên có thể nhân với nhau để tạo thành $20$20.

Ta sẽ bắt đầu với $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd vì ta biết $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd là ước của mọi số. Ta lấy $\blueD{1} \cdot \blueD{20}$start color #11accd, 1, end color #11accd, dot, start color #11accd, 20, end color #11accd, để có $20$20, do đó $\blueD{20}$start color #11accd, 20, end color #11accd cũng là một ước. Ta có thể liệt kê các ước này ở hai đầu của danh sách, để có chỗ cho các ước khác ở giữa.

Giờ ta sẽ kiểm tra xem số đếm tiếp theo, $2$2, có phải là ước hay không.

Có số tự nhiên nào có thể nhân với $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 để có $20$20 không? Có. $\greenD{2} \cdot \greenD{10}=20$start color #1fab54, 2, end color #1fab54, dot, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20. Vậy $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 và $\greenD{10}$start color #1fab54, 10, end color #1fab54 là một cặp ước nữa.

Số đếm tiếp theo là $3$3. Có số tự nhiên nào có thể nhân với $3$3 để có $20$20 không? Không. Vậy $3$3 không phải ước của $20$20.

Ta có thể nhân $\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 với một số tự nhiên để có $20$20 không? Có. $\redD{4} \cdot \redD{5}= 20$start color #e84d39, 4, end color #e84d39, dot, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20. Vậy $\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 và $\redD{5}$start color #e84d39, 5, end color #e84d39 là một cặp ước.

Số đếm tiếp theo là $5$5. Vì $5$5 đã tồn tại trong danh sách, ta đã tìm ra tất cả các cặp ước của $20$20.

Bội là tích của một số tự nhiên với một số tự nhiên khác. Bốn bội đầu tiên (khác $0$0) của $\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed là $3, 6, 9$3, comma, 6, comma, 9 và $12$12 vì:

Một vài bội khác của $\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed là $15, 30$15, comma, 30 và $300$300.

Ta không bao giờ có thể liệt kê tất cả các bội của một số. Trong ví dụ, $3$3 có thể được nhân với vô số số tự nhiên để tìm ra các bội mới.

Bội đầu tiên (khác $0$0) của một số là chính nó.
$7 \cdot 1 = 7$7, dot, 1, equals, 7.

Danh sách liệt kê các bội của $4$4.

Danh sách liệt kê các bội của $8$8.

Các hình sau thể hiện các bội của $4$4.

Ô tiếp theo sẽ chứa bội tiếp theo của $4$4.

$\goldD{4}$start color #e07d10, 4, end color #e07d10 và $\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54 đều là ước của $\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd vì $\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd đều chia hết cho chúng.

$\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd là bội của $\goldD{4},$start color #e07d10, 4, end color #e07d10, comma và cũng là bội của $\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54.

Ta biết $9 \cdot 6 = 54$9, dot, 6, equals, 54

Ước và bội được sử dụng khi giải các bài toán về độ dài cạnh và diện tích của hình chữ nhật.

Một hình chữ nhật có diện tích $50$50 cm$^2$squared.

Ông Hùng đang chia $36$36 bánh quy sô-cô-la cho các học sinh trong câu lạc bộ nghệ thuật của ông.