Ôn tập về giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất của một hàm số trên một tập là giá trị lớn nhất mà hàm số có thể nhận được trên tập đó. Tương tự, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một tập là giá trị nhỏ nhất mà hàm số có thể nhận được trên tập đó.

Giả sử bạn đã biết cách tìm cực tiểu & cực đại. Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số, ta sẽ cần thực hiện thêm một bước: xét giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút.

Định lý về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cho ta biết mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Những giá trị này hoặc là các cực trị, hoặc là các giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn đó.

Ví dụ, hãy tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $h(x)=2x^3+3x^2-12x$‍ trên đoạn $-3\le x\le 3$‍

$h^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$‍, vậy các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 là $x=-2$‍ và $x=1$‍. Các điểm này chia đoạn $-3\le x\le 3$‍ thành ba khoảng:

Giờ ta hãy xét các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 và các điểm đầu mút của đoạn:

Trên đoạn $-3\le x\le 3$‍, các điểm $(-3;9)$‍ và $(3;45)$‍ là các điểm đầu mút, còn các điểm $(-2;20)$‍ và $(1;-7)$‍ là các điểm cực trị.

Ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số nằm trong đoạn đang xét và giá trị lớn nhất nằm tại một điểm đầu mút.

Không phải hàm số nào cũng có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định. Ví dụ, hàm số bậc nhất $f(x)=x$‍ không có giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất (vì giá trị của hàm số có thể nhỏ hay lớn tùy ý).

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định. Ví dụ, hãy xét hàm số $g(x)=x{e}^{3x}$‍.

$g^{\prime }(x)=e^{3x}(1+3x)$‍, vậy điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định là $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍.

Hãy tưởng tượng ta đang đi trên đồ thị hàm số $g$‍, bắt đầu từ phía bên trái (từ $-\mathrm{\infty }$‍) và đi sang phải (tới $+\mathrm{\infty }$‍).

Ta thấy đồ thị hàm số $g$‍ đi xuống cho đến điểm $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Từ sau điểm này, đồ thị hàm số $g$‍ chỉ đi lên. Vậy hàm số $g$‍ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Hàm số này không có giá trị lớn nhất.