Nội dung chính

Khóa học: Toán lớp 12 (Việt Nam) > Chương 3

Bài học 1: Nguyên hàm

Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến 𝘶 ngược với quy tắc chuỗi trong đạo hàm. Phương pháp này giúp ta tính tích phân của hàm hợp.

Khi tính nguyên hàm, thực ra chúng ta tính "đạo hàm ngược." Ví dụ,

(x^{2})^{'}

2 x

, suy ra

\int 2 x d x = x^{2} + C

. Phương pháp này có thể được áp dụng với một số hàm số sơ cấp khác, như

\sin (x)

e^{x}

\frac{1}{x}

Tuy nhiên, ở một số trường hợp khác, việc tính nguyên hàm sẽ không đơn giản như vậy. Ví dụ, tính

\int \cos (3 x + 5) d x

. Gợi ý: kết quả không phải là

\sin (3 x + 5) + C

. Hãy thử tính đạo hàm và bạn sẽ biết tại sao như vậy.

Một phương pháp khác ta có thể áp dụng để tính nguyên hàm là đổi biến số, hay chính là ta thực hiện phép tính ngược lại của quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.

Phương pháp đổi biến số

Ví dụ: Tính

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

. Chú ý,

2 x

là đạo hàm của

x^{2}

, là hàm số "ở bên trong" của hàm hợp

\cos (x^{2})

. Vì vậy, ta đặt

u (x) = x^{2}

và

w (x) = \cos (x)

. Ta có:

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

Ta tiếp tục áp dụng phương pháp đổi biến số:

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số

u = x^{2}

theo biến

x

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{}{} (u)^{'} & = \frac{}{} (x^{2})^{'} \\ \frac{}{} d u & = 2 x d x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

Ở phương trình màu tím trên, ta đã nhân hai vế với

d x

để được

d u

. Từ đây, ta đã có

u = x^{2}

và

d u = 2 x d x

, thay các thành phần này vào biểu thức tính nguyên hàm, ta có:

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} & Sắp xếp lại. \\ = \int \cos (u) d u & Thay thế. \end{aligned}

Sau khi thực hiện phép thế, chúng ta còn lại biểu thức tính nguyên hàm của hàm số

\cos (u)

theo biến

u

. Hàm số

\cos (u)

là một hàm số sơ cấp nên ta có thể dễ dàng tính nguyên hàm. Sau khi áp dụng quy tắc tính nguyên hàm của hàm số lượng giác, ta cần đổi hàm số theo biến

u

về hàm số theo biến

x

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

Kết luận,

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

\sin (x^{2}) + C

. Ta có thể tính đạo hàm của

\sin (x^{2}) + C

để kiểm tra kết quả.

Kiến thức cần nắm #1: Phương pháp đổi biến số là phép tính ngược của quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.

Ta đã biết, đạo hàm của hàm hợp $w (u (x))$ ‍ là $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍.
Với phương pháp đổi biến số, ta viết lại biểu thức hàm số dưới dạng $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍ và tính nguyên hàm của $w (u (x))$ ‍.

Kiến thức cần nắm #2: Phương pháp đổi biến số giúp chúng ta biến đổi một biểu thức phức tạp thành một biểu thức đơn giản bằng cách coi toàn bộ "hàm ở bên trong" hàm hợp là một biến.

Bài 1.A

Các dạng bài số 1 sẽ hướng dẫn bạn các bước để tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

\int (6 x^{2}) (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

Cách đặt $u$ ‍?

Lỗi sai phổ biến: Viết sai biểu thức $u$ ‍ hoặc $d u$ ‍

Viết sai biểu thức

u

sẽ dẫn đến kết quả sai. Ví dụ, ở câu hỏi 1, ta phải đặt

u

phải đặt là

2 x^{3} + 5

. Nếu đặt

u

là

6 x^{2}

hay

(2 x^{3} + 5)^{6}

, ta sẽ không giải được bài toán.

Ghi nhớ: Khi áp dụng phương pháp đổi biến số, chúng ta phải viết biểu thức hàm số cần tính nguyên hàm dưới dạng

w (u (x)) \cdot u^{'} (x)

. Do đó, ta cần đặt hàm ở bên trong của hàm hợp là

u

Một bước quan trọng không kém đó là tìm

d u

. Ta cần kiểm tra kết quả đạo hàm của

u

, bởi vì nếu biểu thức của

d u

sai thì kết quả cũng sẽ sai.

Bài 2

Tuấn muốn tính

\int \cos (5 x - 7) d x

. Dưới đây là bài làm của bạn ấy:

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

Bài làm của Tuấn có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra lỗi sai của bạn ấy?

(Đáp án A)
Bài làm của Tuấn là đúng.
(Đáp án B)
Bài làm của Tuấn không đúng. Nguyên hàm của $\cos (x)$ ‍ không phải là $\sin (x)$ ‍.
(Đáp án C)
Bài làm của Tuấn là không đúng vì $\cos (5 x - 7)$ ‍ là một hàm hợp.
(Đáp án D)
Bài làm của Tuấn là không đúng vì bạn ấy thêm hằng số $C$ ‍ khi tính nguyên hàm.

Lỗi sai phổ biến: Không biết cần áp dụng phương pháp đổi biến số.

Ghi nhớ: Khi tính nguyên hàm của hàm hợp, chúng ta không thể chỉ tính nguyên hàm của hàm ở bên ngoài. Ta cần áp dụng phương pháp đổi biến số.

Gọi

W

là nguyên hàm của

w

và được biểu diễn như sau:

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

Lỗi sai phổ biến: Không phân biệt được hàm số bên trong hàm hợp và đạo hàm của hàm số đó.

Ví dụ, khi tính

\int x^{2} \cos (2 x) d x

, ta có thể lập luận rằng "vì

2 x

là đạo hàm của

x^{2}

, ta có thể dùng phương pháp đổi biến số." Tuy nhiên, để áp dụng phương pháp đổi biến số,

x^{2}

phải là đạo hàm của

2 x

. Do đó, trong bài toán này, ta không áp dụng được phương pháp đổi biến số.

Đôi khi, ta cần phải nhân/chia hàm số cần tính nguyên hàm cho một hằng số.

Ví dụ, tính

\int \sin (3 x + 5) d x

. Nhìn vào biểu thức hàm số cần tính nguyên hàm, ta thấy có hàm hợp

\sin (3 x + 5)

, nhưng hàm số này không nhân với bất kì biểu thức nào khác. Ta có cách giải của bài toán này như sau:

Ta đặt

u = 3 x + 5

, suy ra

d u = 3 d x

. Thay

u

vào biểu thức hàm số cần tính nguyên hàm:

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x + 5) 3 d x

Ta có nhận xét, để có được

3 d x

trong biểu thức hàm số cần tính nguyên hàm, ta đã nhân toàn bộ biểu thức với

\frac{1}{3}

. Bằng cách đó, ta có thể đổi biến số trong khi vẫn giữ nguyên giá trị của nguyên hàm.

Tiếp tục áp dụng phương pháp đổi biến số:

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

Kiến thức cần nắm: Đôi khi, ta cần nhân hoặc chia nguyên hàm cho một hằng số để có thể áp dụng phương pháp đổi biến số mà không làm thay đổi giá trị của nguyên hàm.

Bài 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

Bạn muốn làm thêm các bài tập tương tự? Hãy xem bài tập này.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.

Toán lớp 12 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 12 (Việt Nam) > Chương 3

Phương pháp đổi biến số

Lỗi sai phổ biến: Viết sai biểu thức u‍ hoặc du‍

Lỗi sai phổ biến: Không biết cần áp dụng phương pháp đổi biến số.

Lỗi sai phổ biến: Không phân biệt được hàm số bên trong hàm hợp và đạo hàm của hàm số đó.

Đôi khi, ta cần phải nhân/chia hàm số cần tính nguyên hàm cho một hằng số.

Tham gia cuộc thảo luận?

Lỗi sai phổ biến: Viết sai biểu thức $u$ ‍ hoặc $d u$ ‍