If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 12 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 12 (Việt Nam) > Chương 2

Bài học 2: Lôgarit
Toán
Toán lớp 12 (Việt Nam)
Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Lôgarit
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Chứng minh quy tắc tính lôgarit

Google Classroom
Tìm hiểu cách chứng minh các quy tắc tính lôgarit: quy tắc tính lôgarit của tích, thương và lũy thừa.
Trong bài học này, chúng ta sẽ chứng minh ba quy tắc tính lôgarit: quy tắc tính lôgarit của tích, thương và lũy thừa. Trước khi bắt đầu, ta đã biết:
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
Nói cách khác, lôgarit cơ số b là phép tính đảo ngược của b lũy thừa!
Bạn hãy ghi nhớ điều này trước khi đọc các phần chứng minh tiếp theo.

Quy tắc tính lôgarit của một tích: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, M, plus, log, start base, b, end base, N

Đầu tiên, ta chứng minh quy tắc với một trường hợp cụ thể khi M, equals, 4, N, equals, 8 và b, equals, 2.
Thế những giá trị này vào log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, chúng ta nhận thấy:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 vaˋ 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡bbc=c=log⁡24+log⁡28Vıˋ 2=log⁡24 vaˋ 3=log⁡28\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ và } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_bb^c=c$}}}\\ \\ &=\log_24+\log_28&&\small{\gray{\text{Vì $2=\log_24$ và $3=\log_28$}}}\\ \end{aligned}
Vì vậy, ta có, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, 4, plus, log, start base, 2, end base, 8.
Dựa theo cách chứng minh cho một ví dụ cụ thể ở trên, ta có thể chứng minh quy tắc tính lôgarit của một tích đúng cho mọi trường hợp.
Chú ý: Trong ví dụ vừa rồi, việc viết lại 4 và 8 dưới dạng lũy thừa của 2 là bước rất quan trọng để ta chứng minh được quy tắc tính này. Vì vậy, khi chứng minh công thức tổng quát, chúng ta cần viết lại M và N thành lũy thừa của cơ số b. Để làm điều này, ta có thể đặt M, equals, b, start superscript, x, end superscript và N, equals, b, start superscript, y, end superscript với x và y là hai số thực.
Khi đó, log, start base, b, end base, M, equals, x và log, start base, b, end base, N, equals, y.
Ta được:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Pheˊp theˆˊ=log⁡b(bx+y)Tıˊnh chaˆˊt của lu˜y thừa=x+ylog⁡bbc=c=log⁡bM+log⁡bNPheˊp theˆˊ\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Phép thế}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Tính chất của lũy thừa}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_bb^c=c$}}} \\\\ &=\log_bM+\log_bN&&\small{\gray{\text{Phép thế}}} \end{aligned}

Quy tắc tính lôgarit của thương: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, M, minus, log, start base, b, end base, N

Ta có thể chứng minh quy tắc này tương tự như quy tắc tính lôgarit của tích.
Nếu chúng ta đặt M, equals, b, start superscript, x, end superscript và N, equals, b, start superscript, y, end superscript thì log, start base, b, end base, M, equals, x và log, start base, b, end base, N, equals, y.
Ta chứng minh quy tắc tính lôgarit của thương như sau:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Pheˊp theˆˊ=log⁡b(bx−y)Tıˊnh chaˆˊt của lu˜y thừa=x−ylog⁡bbc=c=log⁡bM−log⁡bNPheˊp theˆˊ\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Phép thế}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Tính chất của lũy thừa}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_bb^c=c$}}}\\ \\ &=\log_bM-\log_bN&&\small{\gray{\text{Phép thế}}} \end{aligned}

Quy tắc tính lôgarit của lũy thừa: log, start base, b, end base, M, start superscript, p, end superscript, equals, p, log, start base, b, end base, M

Biểu thức lần này chỉ có M nên ta đặt M, equals, b, start superscript, x, end superscript, khi đó ta được log, start base, b, end base, M, equals, x.
Ta chứng minh quy tắc tính lôgarit của lũy thừa như sau.
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Pheˊp theˆˊ=log⁡b(bxp)Tıˊnh chaˆˊt của lu˜y thừa=xplog⁡bbc=c=log⁡b(M)⋅pPheˊp theˆˊ=p⋅log⁡bMTıˊnh chaˆˊt giao hoaˊn của pheˊp nhaˆn\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Phép thế}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Tính chất của lũy thừa}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_bb^c=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Phép thế}}}\\ \\ &=p\cdot \log_bM&&\small{\gray{\text{Tính chất giao hoán của phép nhân}}} \end{aligned}
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể chứng minh quy tắc này bằng cách sử dụng quy tắc tính lôgarit của tích.
Ví dụ, log, start base, b, end base, M, start superscript, p, end superscript, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, trong đó M nhân với chính nó p lần.
Ta có thể sử dụng quy tắc tính lôgarit của tích cùng với định nghĩa của phép nhân (phép nhân chính là phép cộng lặp lại các số giống nhau) để chứng minh quy tắc lôgarit của lũy thừa như dưới đây:
log⁡bMp=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)Định nghı˜a của lu˜y thừa=log⁡bM+log⁡bM+...+log⁡bMQuy ta˘ˊc tıˊnh loˆgarit của tıˊch=p⋅log⁡bMPheˊp nhaˆn laˋ pheˊp cộng lặp lại caˊc soˆˊ gioˆˊng nhau\begin{aligned} \log_bM^p &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Định nghĩa của lũy thừa}}}\\ \\ &= \log_bM+\log_bM+...+\log_bM&& \small{\gray{\text{Quy tắc tính lôgarit của tích}}}\\\\ &= p\cdot \log_bM &&\small{\gray{\text{Phép nhân là phép cộng lặp lại các số giống nhau}}}\end{aligned}
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được 3 quy tắc tính lôgarit!

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.