Chúng tôi đang gặp khó khăn trong việc tải các tài nguyên bên ngoài có trên trang web.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Nội dung chính

Chứng minh quy tắc tính lôgarit

Tìm hiểu cách chứng minh các quy tắc tính lôgarit: quy tắc tính lôgarit của tích, thương và lũy thừa.
Trong bài học này, chúng ta sẽ chứng minh ba quy tắc tính lôgarit: quy tắc tính lôgarit của tích, thương và lũy thừa. Trước khi bắt đầu, ta đã biết:
logb(bc)=c
Nói cách khác, lôgarit cơ số b là phép tính đảo ngược của b lũy thừa!
Bạn hãy ghi nhớ điều này trước khi đọc các phần chứng minh tiếp theo.

Quy tắc tính lôgarit của một tích: logb(MN)=logbM+logbN

Đầu tiên, ta chứng minh quy tắc với một trường hợp cụ thể khi M=4, N=8b=2.
Thế những giá trị này vào logb(MN), chúng ta nhận thấy:
log2(48)=log2(2223)22=4 và 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logbbc=c=log24+log28Vì 2=log24 và 3=log28
Vì vậy, ta có, log2(48)=log24+log28.
Dựa theo cách chứng minh cho một ví dụ cụ thể ở trên, ta có thể chứng minh quy tắc tính lôgarit của một tích đúng cho mọi trường hợp.
Chú ý: Trong ví dụ vừa rồi, việc viết lại 48 dưới dạng lũy thừa của 2 là bước rất quan trọng để ta chứng minh được quy tắc tính này. Vì vậy, khi chứng minh công thức tổng quát, chúng ta cần viết lại MN thành lũy thừa của cơ số b. Để làm điều này, ta có thể đặt M=bxN=by với xy là hai số thực.
Khi đó, logbM=xlogbN=y.
Ta được:
logb(MN)=logb(bxby)Phép thế=logb(bx+y)Tính chất của lũy thừa=x+ylogbbc=c=logbM+logbNPhép thế

Quy tắc tính lôgarit của thương: logb(MN)=logbMlogbN

Ta có thể chứng minh quy tắc này tương tự như quy tắc tính lôgarit của tích.
Nếu chúng ta đặt M=bxN=by thì logbM=xlogbN=y.
Ta chứng minh quy tắc tính lôgarit của thương như sau:
logb(MN)=logb(bxby)Phép thế=logb(bxy)Tính chất của lũy thừa=xylogbbc=c=logbMlogbNPhép thế

Quy tắc tính lôgarit của lũy thừa: logbMp=plogbM

Biểu thức lần này chỉ có M nên ta đặt M=bx, khi đó ta được logbM=x.
Ta chứng minh quy tắc tính lôgarit của lũy thừa như sau.
logb(Mp)=logb((bx)p)Phép thế=logb(bxp)Tính chất của lũy thừa=xplogbbc=c=logb(M)pPhép thế=plogbMTính chất giao hoán của phép nhân
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể chứng minh quy tắc này bằng cách sử dụng quy tắc tính lôgarit của tích.
Ví dụ, logbMp=logb(MMM), trong đó M nhân với chính nó p lần.
Ta có thể sử dụng quy tắc tính lôgarit của tích cùng với định nghĩa của phép nhân (phép nhân chính là phép cộng lặp lại các số giống nhau) để chứng minh quy tắc lôgarit của lũy thừa như dưới đây:
logbMp=logb(MMM)Định nghĩa của lũy thừa=logbM+logbM++logbMQuy tắc tính lôgarit của tích=plogbMPhép nhân là phép cộng lặp lại các số giống nhau
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được 3 quy tắc tính lôgarit!

Tham gia cuộc thảo luận?

Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.