If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 12 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 12 (Việt Nam) > Chương 2

Bài học 2: Lôgarit
Toán
Toán lớp 12 (Việt Nam)
Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Lôgarit
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Giới thiệu về Lôgarit

Google Classroom
Tìm hiểu về lôgarit và phép tính lôgarit.

Kiến thức cần nắm vững

Trước khi bắt đầu bài học này, bạn hãy chắc chắn mình đã nắm được kiến thức về số mũ âm.

Mục tiêu bài học

Chúng ta sẽ học về khái niệm lôgarit và cách tính lôgarit, từ đó chuẩn bị kiến thức nền cho các bài học sau liên quan đến biểu thức và hàm lôgarit.

Lôgarit là gì?

Lôgarit là phép toán nghịch đảo của lũy thừa.
Ví dụ, ta có cơ số start color #11accd, 2, end color #11accd nâng lên lũy thừa start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, end text, end superscript bằng start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Điều này được thể hiện bằng phép tính lũy thừa start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Giả sử, đề bài hỏi "start color #11accd, 2, end color #11accd mũ mấy bằng start color #e07d10, 16, end color #e07d10?". Chúng ta biết câu trả lời là start color #0d923f, 4, end color #0d923f và điều này được thể hiện bởi phép tính lôgarit log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, đọc là "lôgarit cơ số hai của mười sáu bằng bốn".
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Cả hai phép tính đều thể hiện cùng một mối liên hệ giữa các số start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f và start color #e07d10, 16, end color #e07d10, trong đó start color #11accd, 2, end color #11accd là cơ số và start color #0d923f, 4, end color #0d923f là số mũ.
Điểm khác nhau giữa hai phép tính này là dạng lũy thừa sẽ cho ra kết quả của phép lũy thừa, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, còn dạng lôgarit cho ta biết số mũ để thực hiện phép lũy thừa đó, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Dưới đây là một số ví dụ về phép tính lôgarit và phép tính lũy thừa tương đương.
Dạng lôgaritDạng lũy thừa
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Định nghĩa lôgarit

Khái quát các ví dụ trên, chúng ta có định nghĩa lôgarit như sau:
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, start color #e07d10, a, end color #e07d10, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Cả hai phép tính đều miêu tả cùng một mối quan hệ giữa start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd và start color #0d923f, c, end color #0d923f, trong đó:
  • start color #11accd, b, end color #11accd là start color #11accd, start text, c, ơ, space, s, o, with, \^, on top, with, \', on top, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f là start color #0d923f, start text, s, o, with, \^, on top, with, \', on top, space, m, u, with, \~, on top, end text, end color #0d923f và
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 là start color #e07d10, start text, đ, o, with, \^, on top, with, \', on top, i, space, s, o, with, \^, on top, with, \', on top, end text, end color #e07d10.

Lưu ý:

Nếu bạn viết lại phép tính lũy thừa dưới dạng lôgarit hoặc phép tính lôgarit dưới dạng lũy thừa thì cơ số của hai phép tính phải giống nhau.

Bài tập vận dụng

Với các bài toán bên dưới, chúng ta luyện tập chuyển dạng phép tính lũy thừa về dạng phép tính lôgarit và ngược lại.
Bài 1
Phép tính nào tương đương với 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Chọn 1 đáp án:

Bài 2
Phép tính nào tương đương với 5, cubed, equals, 125?
Chọn 1 đáp án:

Bài 3
Viết lại log, start base, 2, end base, 64, equals, 6 dưới dạng phép tính lũy thừa.

Bài 4
4) Viết lại log, start base, 4, end base, 16, equals, 2 dưới dạng phép tính lũy thừa.

Tính lôgarit

Chúng ta đã hiểu được mối quan hệ giữa phép lũy thừa và lôgarit. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hành tính lôgarit.
Ví dụ, tính log, start base, 4, end base, 64.
Đầu tiên, ta đặt biểu thức bằng x.
log, start base, 4, end base, 64, equals, x
Tiếp theo, ta viết lại phép tính trên dưới dạng phép tính lũy thừa:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
Cuối cùng, hãy trả lời câu hỏi: Cơ số 4 nâng lên lũy thừa bao nhiêu sẽ được 64? Đáp án của chúng ta là start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 hay log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Khi đã quen với các dạng bài tập này, bạn có thể bỏ qua các bước ở giữa và trả lời luôn câu hỏi ở bước cuối cùng "Cơ số 4 nâng lên lũy thừa bao nhiêu thì bằng 64?" để tìm ra log, start base, 4, end base, 64.

Bài tập vận dụng

Khi tính log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, start color #e07d10, a, end color #e07d10, bạn hãy trả lời câu hỏi: "Cơ số start color #11accd, b, end color #11accd nâng lên lũy thừa bao nhiêu thì bằng start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Bài 5
log, start base, 6, end base, 36, equals
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Bài 6
log, start base, 3, end base, 27, equals
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Bài 7
log, start base, 4, end base, 4, equals
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Bài 8
log, start base, 5, end base, 1, equals
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Bài tập nâng cao
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3, slash, 5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7, slash, 4
  • một hỗn số, ví dụ như 1, space, 3, slash, 4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0, comma, 75
  • bội của pi, như 12, space, start text, p, i, end text hoặc 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Điều kiện của các biến số

log, start base, b, end base, a được xác định khi cơ số b dương và không bằng 1, đối số a dương. Những điều kiện này là kết quả liên hệ giữa khái niệm lôgarit và phép lũy thừa.
Điều kiệnLý giải
b, is greater than, 0Trong một hàm số mũ, cơ số b luôn dương.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, a, equals, c nghĩa là b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Vì một số dương nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ đều cho kết quả dương, tức là b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, nên a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1Giả sử, b có thể bằng 1. Xét phương trình log, start base, 1, end base, 3, equals, x. Phương trình mũ tương đương là 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Nhưng điều này không bao giờ đúng vì 1 nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ đều bằng 1. Vậy, b, does not equal, 1.

Lôgarit đặc biệt

Cơ số của một lôgarit có thể là một số thực dương bất kỳ và khác 1. Trong đó, ta thường gặp lôgarit với hai cơ số dưới đây.
Hầu hết các máy tính cầm tay sẽ có nút riêng cho hai loại lôgarit này.

Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit có cơ số bằng 10 ("lôgarit cơ số 10").
Khi viết loại lôgarit này, chúng ta có thể không viết cơ số và tự động hiểu là cơ số sẽ bằng 10.
log, start base, 10, end base, x, equals, log, x

Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên là lôgarit có cơ số là e ("lôgarit cơ số e").
Thay vì viết cơ số e, ta viết ký hiệu lôgarit thành natural log.
log, start base, e, end base, x, equals, natural log, x
Dưới đây là bảng tóm tắt kiến thức về hai dạng lôgarit đặc biệt:
TênCơ sốKý hiệu thườngKý hiệu đặc biệt
Lôgarit thập phân10log, start base, 10, end base, xlog, x
Lôgarit tự nhiênelog, start base, e, end base, xnatural log, x
Mặc dù hai loại lôgarit này sử dụng ký hiệu khác nhau, nhưng ý nghĩa của cách tính các lôgarit này là hoàn toàn giống nhau!

Tại sao chúng ta phải học lôgarit?

Thông qua những bài tập vừa làm, chúng ta có thể thấy lôgarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Vì lý do này, lôgarit rất hữu ích cho việc giải các phương trình mũ.
Ví dụ, nghiệm của phương trình mũ 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 có thể được ghi dưới dạng lôgarit là x, equals, log, start base, 2, end base, 5. Chúng ta học thêm về các phép toán và phương trình lôgarit ở những bài học sau.
Bên cạnh đó, các biểu thức và hàm lôgarit cũng được ứng dụng rất nhiều trong thế giới xung quanh chúng ta, trong đó có nhiều hiện tượng vật lý được đo bằng thang đo lôgarit.

Nội dung tiếp theo

Chúng ta sẽ học về tính chất của lôgarit để biết cách viết lại biểu thức lôgarit. Chúng ta cũng sẽ học về quy tắc đổi cơ số để từ đó biết cách tính mọi lôgarit bằng máy tính.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.