If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Nếu bạn đang đứng sau một bộ lọc web, xin vui lòng chắc chắn rằng tên miền *. kastatic.org và *. kasandbox.org là không bị chặn.

Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 6

Bài học 5: Thể tích của một số hình khối
Toán
Toán lớp 11 (Việt Nam)
Quan hệ song song - vuông góc trong không gian
Thể tích của một số hình khối
© 2023 Khan AcademyĐiều khoản sử dụngChính sách bảo mậtThông báo về cookie

Thể tích của hình chóp hoặc hình nón

Google Classroom
Trong công thức tính thể tích của hình chóp, phân số 1/3 đến từ đâu? Công thức tính thể tích của hình nón liên quan hay không? Có khác biệt gì với hình chóp xiên (nghiêng về một bên) hay không?

Định nghĩa hình chóp và hình nón

Hình chóp là khối đa diện có mặt đáy là đa giác lồi và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.
A slanted pyramid where the base is a rectangle. The base is labeled base. The tip of the pyramid is labeled apex.
A slanted pyramid where the base is a triangle. The base is labeled base. The tip of the pyramid is labeled apex.
Nói cách khác, hình chóp là tập hợp tất cả các phép vị tự của đáy với đỉnh chóp là tâm vị tự và tỉ số từ 0 tới 1.
A pentagonal pyramid and a slanted pentagonal pyramid. Both have an equal number of cross sections.
Hình nón có hình dạng giống như hình chóp nhưng mặt đáy là hình tròn hoặc một đường cong khép kín chứ không phải một đa giác. Hình nón có một mặt bên cong chứ không có mặt bên hình tam giác. Công thức tính thể tích hình chóp và hình nón khá tương đồng.
An upside down cone.

Thể tích hình chóp

Công thức tính thể tích hình chóp: V=13 . diện tích đáy . chiều cao. Ta có thể suy ra công thức này từ đâu?

Phân số 13 trong công thức đến từ đâu?

Giả sử chúng ta có một khối lập phương, chiều dài các cạnh là 1 cm. Chúng ta cắt khối lập phương này thành 3 hình chóp bằng nhau.
Bài 1
Thể tích của mỗi hình chóp bằng bao nhiêu?
  • Đáp án của bạn nên là
  • một phân số tối giản, như 3/5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7/4
cm3

Phóng to/thu nhỏ hình chóp

Cách phóng to/thu nhỏ một hình chóp cũng tương tự như cách phóng to/thu nhỏ hình lăng trụ bao quanh hình chóp. Khi chúng ta phóng to/thu nhỏ một hình chóp có thể tích Vchưa thu/phóng theo hệ số r, s, t và theo ba hướng vuông góc, thể tích Vđã thu/phóng của hình sẽ bằng Vchưa thu/phóng rst.
A rectangular prism. Three arrows extend from the rectangular prism, one from the length, one from the height, and one from the width of the base.
A rectangular pyramid. Three arrows extend from the pyramid, one from apex and one each from the length and width of the base.
Bài 2
Hình chóp dưới đây là phiên bản phóng to/thu nhỏ của một hình chóp có đáy là hình vuông. Mỗi chiều được phóng to/thu nhỏ theo hệ số tỉ lệ khác nhau.
An oblique rectangular pyramid with a face of the pyramid being a right triangle. This face has a base of six centimeters and a height of seven point five centimeters. Its rectangular base has a length of six centimeters and a width of two centimeters.
Tính thể tích hình chóp có đáy hình chữ nhật trên.
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3/5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7/4
  • một hỗn số, ví dụ như 1 3/4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0,75
  • bội của pi, như 12 pi hoặc 2/3 pi
cm3

Lưu ý: Thể tích của hình chóp vẫn bằng 13 thể tích hình lăng trụ chứa nó, kể cả sau khi ta phóng to/thu nhỏ theo tỉ lệ cả hai hình.

Cắt lớp

Hãy tưởng tượng ta cắp hình chóp thành từng lớp song song với mặt đáy. Ta có thể cắt hình thành nhiều lớp mỏng mà không làm thay đổi thể tích của hình. Khi số lượng các lớp tiến dần tới vô cực, ta sẽ có một hình chóp hoàn chỉnh.
A series of six rectangular pyramids. The first pyramid is an oblique rectangular pyramid where the top of the pyramid leans left. It has been cut into four sections, which have been rearranged in a less leaning fashion in the second pyramid. From left the right, the pyramids have more sections that are parallel to the base. The final pyramid has infinitely many cross section so that it appears like smooth right rectangular pyramid.
Theo Nguyên lý Cavalieri, nếu ta không thay đổi chiều cao hoặc diện tích các mặt cắt song song với mặt đáy, ta cũng sẽ không làm thay đổi thể tích! Kể cả khi ta thay đổi vị trí của đỉnh chóp, ta vẫn có thể sử dụng cùng công thức tính thể tích của hình chóp.
Bài 3
Tính thể tích hình chóp.
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3/5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7/4
  • một hỗn số, ví dụ như 1 3/4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0,75
  • bội của pi, như 12 pi hoặc 2/3 pi
m3

Thay đổi mặt đáy

Nguyên lý Cavalieri có một ứng dụng cực kỳ tuyệt vời. Hai mặt đáy có thể có cùng diện tích nhưng lại có hình dạng hoàn toàn khác nhau. Nếu chiều cao và diện tích đáy của hai hình chóp hoặc của hình
là như nhau, chúng sẽ có thể tích bằng nhau bởi vì diện tích của các mặt cắt song song đáy bằng nhau.
Như vậy, công thức thể tích Vhình chóp=13 . diện tích đáy . chiều cao có thể áp dụng được với mọi hình chóp với bất kỳ mặt đáy nào.
Bài 4.1
Hình chóp dưới đây có đáy là một tam giác vuông và cân.
A pyramid with a base that is a right triangle with its legs both being fourteen centimeters. It has a vertical height of twenty-seven centimeters. The edge of the triangular faces that connect to the hypotenuse and the side of its right triangular base has a length of twenty-nine centimeters.
Tính thể tích hình chóp.
  • Đáp án của bạn nên là
  • một số nguyên như số 6
  • một phân số tối giản, như 3/5
  • một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như 7/4
  • một hỗn số, ví dụ như 1 3/4
  • Một số thập phân hữu hạn, như 0,75
  • bội của pi, như 12 pi hoặc 2/3 pi
cm3

Bỏ đi 13

Ta có thể suy ra hình chóp bằng 13 thể tích của khối lăng trụ chứa nó bằng cách ước lượng thể tích của khối lăng trụ.
Chúng ta có thể tạo một hình chóp bằng cách xếp các khối lăng trụ lại thành từng lớp với nhau, giống như khi ta xây một kim tự tháp bằng các khối gạch đá. Hình này sẽ có thể tích lớn hơn thể tích của hình chóp. Các khối lớp càng mỏng thì con số thể tích càng tiến gần tới thể tích chính xác của hình chóp.
Số lớpƯớc lượng thể tích của hình chóp bao gồm các khối Thể tích hình lăng trụ
4≈0,469
16≈0,365
64≈0,341
256≈0,335
1024≈0,334
4096≈0,333
+∞13
Bởi vì các hình tương tự hình chóp có mặt đáy là các hình 2 chiều khép kín và bởi vì ta có thể cắt lớp hình lăng trụ mà không làm thay đổi thể tích của hình nên tỉ lệ trên đúng với mọi hình tương tự hình chóp, kể cả hình nón.

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập
Chưa có bài đăng nào.
Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.