Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 2

Bài học 2: Cấp số cộng

Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Google Classroom

Học cách tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng. Ví dụ, tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số 3, 5, 7,...

Trước khi bắt đầu bài học này, hãy chắc chắn rằng bạn đã nắm vững kiến thức cơ bản về cấp số cộng.

Công thức số hạng tổng quát

Đây là công thức số hạng tổng quát của dãy số

3, 5, 7, …

$a_{n} = 3 + 2 (n - 1)$ ‍

Trong công thức trên,

n

là một số tự nhiên khác

0

và là thứ tự của một số hạng bất kỳ trong dãy số,

a_{n}

là số hạng đứng thứ

n

Chúng ta chỉ cần thay số thứ tự của số hạng cần tìm vào trong công thức để tính được giá trị của số hạng đó.

Ví dụ: Để tìm số hạng đứng thứ năm, chúng ta thay

n = 5

vào trong công thức số hạng tổng quát.

$\begin{aligned} a_{5} & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}$ ‍

Đây chính là số hạng đứng thứ năm của dãy số

3, 5, 7, …

Bài tập vận dụng

1) Tìm $b_{10}$ ‍ của dãy số được cho bằng công thức $b_{n} = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b_{10} =

[Tôi cần trợ giúp!]

Viết công thức số hạng tổng quát

Xét cấp số cộng

5, 8, 11, …

Số hạng đầu của dãy số là

5

và công sai là

3

Chúng ta có thể tính được bất kỳ số hạng nào trong dãy số bằng cách lấy số hạng đầu là

5

cộng với công sai là

3

lặp đi lặp lại. Ví dụ, đây là bảng tính biểu diễn cách tìm các số hạng đầu tiên của dãy số.

$n$ ‍	Phép tính tìm số hạng đứng thứ $n$ ‍
$1$ ‍	$5$ ‍	$= 5 + 0 \cdot 3 = 5$ ‍
$2$ ‍	$5 + 3$ ‍	$= 5 + 1 \cdot 3 = 8$ ‍
$3$ ‍	$5 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 2 \cdot 3 = 11$ ‍
$4$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 3 \cdot 3 = 14$ ‍
$5$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 4 \cdot 3 = 17$ ‍

Bảng trên cho thấy chúng ta có thể tính được số hạng đứng thứ

n

(với

n

là một số thứ tự bất kỳ) bằng cách lấy số hạng đầu là

5

và cộng với công sai là

3

lặp đi lặp lại

n - 1

lần. Phép tính này có thể được viết lại là

5 + 3 (n - 1)

Đây là công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ở dạng chuẩn, với số hạng đầu là $A$ ‍ và công sai là $B$ ‍:

$A + B (n - 1)$ ‍

Vận dụng

2) Viết công thức số hạng tổng quát của dãy số $2, 9, 16, …$ ‍.

d_{n} =

[Tôi cần trợ giúp!]

3) Viết công thức số hạng tổng quát của dãy số $9, 5, 1, …$ ‍.

e_{n} =

[Tôi cần trợ giúp!]

4) Cho công thức số hạng tổng quát của một dãy số là

f_{n} = - 6 + 2 (n - 1)

Số hạng đầu của dãy số là?

Công sai là?

[Tôi cần trợ giúp!]

Các dạng công thức số hạng tổng quát

Các công thức số hạng tổng quát có thể được viết dưới nhiều dạng.

Ví dụ, dưới đây là các công thức số hạng tổng quát của dãy số

3, 5, 7, …

$3 + 2 (n - 1)$ ‍ (đây là công thức chuẩn thường được sử dụng)
$1 + 2 n$ ‍
$5 + 2 (n - 2)$ ‍

Các công thức có thể khác nhau về mặt hình thức, nhưng khi chúng ta thay số thứ tự

n

vào công thức, ta sẽ tính được giá trị thứ

n

giống nhau (bạn có thể tự kiểm chứng các công thức còn lại).

Các công thức số hạng tổng quát khác nhau của cùng một dãy số được gọi là các công thức tương đương.

Nhầm lẫn thường gặp

Một cấp số cộng có thể có nhiều công thức tương đương cùng biểu diễn số hạng tổng quát, nhưng chỉ công thức ở dạng chuẩn mới cho chúng ta số hạng đầu và công sai.

Ví dụ, dãy số