Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 2

Bài học 2: Cấp số cộng

Giới thiệu về các công thức của cấp số cộng

Hãy làm quen với công thức số hạng tổng quát và công thức truy hồi của cấp số cộng.

Trước khi bắt đầu bài học này, bạn cần nắm được các kiến thức cơ bản về cấp số cộng và có kỹ năng tính toán giá trị hàm số cũng như tìm tập xác định của hàm số.

Công thức của cấp số cộng là gì?

Chúng ta đã quen với cách biểu diễn cấp số cộng như dưới đây:

3, 5, 7, …

Tuy vậy, chúng ta vẫn còn các cách khác để biểu diễn một cấp số cộng. Trong bài này, chúng ta sẽ học hai cách mới, đó là công thức truy hồi và công thức số hạng tổng quát. Các công thức này cho phép chúng ta tính được giá trị của bất cứ số hạng nào trong một dãy số.

Để có thể áp dụng được cho mọi trường hợp cấp số cộng, các công thức này sẽ sử dụng chữ cái

n

cho số thứ tự của số hạng và

a_{n}

cho số hạng đứng thứ

n

của cấp số cộng. Dưới đây là ví dụ về cách ký hiệu các số hạng đầu tiên của cấp số cộng 3, 5, 7, ...

$n$ ‍	$a_{n}$ ‍
(Số thứ tự của số hạng)	(Số hạng đứng thứ $n$ ‍)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Ở phía trên, chúng ta đã đề cập đến việc công thức cấp số cộng cho phép chúng ta tính được giá trị của bất cứ số hạng nào trong dãy số. Nói cách khác, một công thức cấp số cộng sẽ cho chúng ta biết cách tính $a_{n}$ ‍ với mọi $n$ ‍.

Bài tập vận dụng

1) Tìm $a_{4}$ ‍ của dãy số 3, 5, 7, ...

a_{4} =

[Tôi cần trợ giúp!]

2) Với mọi số thứ tự $n$ ‍, $a_{n - 1}$ ‍ biểu diễn điều gì?

[Tôi cần trợ giúp!]

Công thức truy hồi của cấp số cộng

Công thức truy hồi cho chúng ta hai thông tin:

Số hạng đầu của dãy số
Quy tắc để tìm một số hạng bất kỳ trong dãy số bằng số hạng đứng ngay trước nó

Dưới đây là công thức truy hồi của dãy số 3, 5, 7, ... và ý nghĩa của từng phần.

{\begin{cases} a_{1} = 3 & \leftarrow Số hạng đầu là ba. \\ a_{n} = a_{n - 1} + 2 & \leftarrow Số hạng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm hai. \end{cases}

Ví dụ, để tìm số hạng đứng thứ năm, chúng ta cần viết ra từng số hạng của dãy số.

$a_{n}$ ‍	$= a_{n - 1} + 2$ ‍
$a_{1}$ ‍			$= 3$ ‍
$a_{2}$ ‍	$= a_{1} + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a_{3}$ ‍	$= a_{2} + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a_{4}$ ‍	$= a_{3} + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a_{5}$ ‍	$= a_{4} + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Như vậy, công thức này cũng cho ta dãy số 3, 5, 7, ...

Bài tập vận dụng

Bây giờ, chúng ta cùng luyện tập tìm các số hạng của dãy số bằng cách sử dụng công thức truy hồi.

Tương tự với

a_{n}

biểu diễn số hạng đứng thứ

n

của dãy số 3, 5, 7, ..., chúng ta cũng có thể sử dụng các chữ cái khác để biểu diễn số hạng thứ n của các dãy số khác. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng

b_{n}

c_{n}

, hay

d_{n}

3) Tìm $b_{4}$ ‍ trong dãy số sau đây

{\begin{cases} b_{1} = - 5 \\ b_{n} = b_{n - 1} + 9 \end{cases}

b_{4} =

[Tôi cần trợ giúp!]

4) Tìm $c_{3}$ ‍ trong dãy số sau đây

{\begin{cases} c_{1} = 20 \\ c_{n} = c_{n - 1} - 17 \end{cases}

c_{3} =

[Tôi cần trợ giúp!]

2) Tìm $d_{5}$ ‍ trong dãy số sau đây

{\begin{cases} d_{1} = 2 \\ d_{n} = d_{n - 1} + 0, 4 \end{cases}

d_{5} =

[Tôi cần trợ giúp!]

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Dưới đây là công thức số hạng tổng quát của dãy số 3, 5, 7, ...

a_{n} = 3 + 2 (n - 1)

Chúng ta chỉ cần thay số thứ tự của số hạng cần tìm vào trong công thức để tính được giá trị của số hạng đó.

Ví dụ: Để tìm số hạng đứng thứ năm, chúng ta thay

n = 5

vào trong công thức số hạng tổng quát.

\begin{aligned} a_{5} & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Vậy dù ta sử dụng công thức truy hồi hay công thức số hạng tổng quát, ta đều tìm được những số hạng giống nhau của cùng 1 dãy số.

Bài tập vận dụng

6) Tìm $b_{10}$ ‍ của dãy số $b_{n} = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b_{10} =

[Tôi cần trợ giúp!]

7) Tìm $c_{8}$ ‍ của dãy số $c_{n} = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c_{8} =

[Tôi cần trợ giúp!]

8) Tìm $d_{21}$ ‍ của dãy số $d_{n} = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍.

d_{21} =

[Tôi cần trợ giúp!]

Dãy số là hàm số

Ta có thể thấy rằng các công thức mà chúng ta đã sử dụng trong bài này giống như các hàm số: Chúng ta thay một số vào

n

và công thức cho chúng ta giá trị của

a_{n}

Trên thực tế, các dãy số cũng được định nghĩa là hàm số. Tuy nhiên, không phải số thực bất kỳ nào cũng có thể thay được vào

n

. Chúng ta không có số hạng đứng thứ -5 hay số hạng thứ 0,4 của một dãy số.

Điều này có nghĩa là tập xác định của dãy số - hay tập hợp tất cả các giá trị đầu vào cho phép của hàm số - là tập hợp các số nguyên dương.

Lưu ý về cách viết

Chúng ta viết

a_{4}

để biểu diễn số hạng đứng thứ tư. Các nguồn tài liệu khác có thể viết là

a (4)

Trong chương trình Toán Việt Nam, chúng ta sẽ sử dụng cách viết

a_{4}

Câu hỏi tư duy

9) Công thức nào giúp ta tìm ra số hạng đứng thứ 100 của một cấp số cộng nhanh hơn?

[Tôi cần trợ giúp!]

Câu hỏi nâng cao

10) Công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng là

f_{n} = 3 - 4 (n - 1)

Số hạng nào của dãy số bằng -65?

Số hạng đứng thứ

[Tôi cần trợ giúp!]

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.