Nội dung chính

Toán lớp 11 (Việt Nam)

Khóa học: Toán lớp 11 (Việt Nam) > Chương 2

Bài học 2: Cấp số cộng

Tìm công thức truy hồi dựa vào công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng và ngược lại

Học cách chuyển đổi công thức truy hồi và công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

Trước khi học bài này, hãy chắc chắn rằng bạn đã biết cách tìm công thức truy hồi và công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

Chuyển đổi từ công thức truy hồi sang công thức số hạng tổng quát

Một cấp số cộng được cho bằng công thức truy hồi dưới đây.

${\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n} = a (n - 1) + 2 \end{cases}$ ‍

Công thức này cho chúng ta biết hai thông tin dưới đây:

Số hạng đầu là $3$ ‍
Mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm $2$ ‍. Nói cách khác, công sai là $2$ ‍.

Hãy tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng trên.

Chúng ta biết rằng một cấp số cộng có thể được cho bằng công thức số hạng tổng quát là

A + B (n - 1)

, với số hạng đầu là

A

và công sai là

B

Vậy công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là

a_{n} = 3 + 2 (n - 1)

Bài tập vận dụng

1) Viết công thức số hạng tổng quát của dãy số.

{\begin{cases} b_{1} = - 22 \\ b_{n} = b_{n - 1} + 7 \end{cases}

b_{n} =

[Tôi cần trợ giúp!]

2) Viết công thức số hạng tổng quát của dãy số.

{\begin{cases} c_{1} = 8 \\ c_{n} = c_{n - 1} - 13 \end{cases}

c_{n} =

[Tôi cần trợ giúp!]

Chuyển đổi từ công thức số hạng tổng quát sang công thức truy hồi

Ví dụ 1: Công thức được cho ở dạng chuẩn

Đề bài cho chúng ta công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng.

$d_{n} = 5 + 16 (n - 1)$ ‍

Đề bài cho công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ở dạng chuẩn

A + B (n - 1)

, với

A

là số hạng đầu và

B

là công sai của cấp số cộng. Vì vậy,

số hạng đầu của dãy số là $5$ ‍ và
công sai là $16$ ‍.

Hãy tìm công thức truy hồi của cấp số cộng trên. Công thức truy hồi cho chúng ta hai thông tin:

Số hạng đầu $($ ‍là $5)$ ‍
Quy tắc để tìm một số hạng bất kỳ trong dãy số bằng số hạng đứng ngay trước nó $($ ‍là "cộng thêm $16$ ‍" $)$ ‍

Vậy, công thức truy hồi của cấp số cộng trên là:

{\begin{cases} d_{1} = 5 \\ d_{n} = d_{n - 1} + 16 \end{cases}

Ví dụ 2: Công thức được cho ở dạng rút gọn

Đề bài cho chúng ta công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng.

$e_{n} = 10 + 2 n$ ‍

Chú ý, công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này không được cho ở dạng chuẩn là

A + B (n - 1)

Vì vậy, chúng ta không thể trực tiếp lấy các số trong công thức này để làm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng. Thay vào đó, chúng ta sẽ tìm hai số hạng đầu tiên của dãy số:

$e_{1} = 10 + 2 \cdot 1 = 12$ ‍
$e_{2} = 10 + 2 \cdot 2 = 14$ ‍

Chúng ta tìm được số hạng đầu là

12

và công sai là

2

Vậy, công thức truy hồi của cấp số cộng trên là:

{\begin{cases} e_{1} = 12 \\ e_{n} = e_{n - 1} + 2 \end{cases}

Bài tập vận dụng

3) Cho công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng là

f_{n} = 5 + 12 (n - 1)

Tìm các giá trị chưa biết trong công thức truy hồi của cấp số cộng dưới đây.

{\begin{cases} f_{1} = A \\ f_{n} = f_{n - 1} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍

[Tôi cần trợ giúp!]

4) Cho công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng là

g_{n} = - 11 - 8 (n - 1)

Tìm các giá trị chưa biết trong công thức truy hồi của cấp số cộng dưới đây.

{\begin{cases} g_{1} = A \\ g_{n} = g_{n - 1} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍

[Tôi cần trợ giúp!]

5) Cho công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng là

h_{n} = 1 + 4 n

Tìm các giá trị chưa biết trong công thức truy hồi của cấp số cộng dưới đây.

{\begin{cases} h_{1} = A \\ h_{n} = h_{n - 1} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍

[Tôi cần trợ giúp!]

6) Cho công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng là

i_{n} = 23 - 6 n

Tìm các giá trị chưa biết trong công thức truy hồi của cấp số cộng dưới đây.

{\begin{cases} i_{1} = A \\ i_{n} = i_{n - 1} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Đáp án của bạn nên là một số nguyên như số $6$ ‍ một phân số tối giản, như $3 / 5$ ‍ một phân số tối giản có tử lớn hơn mẫu, như $7 / 4$ ‍ một hỗn số, ví dụ như $1 3 / 4$ ‍ Một số thập phân hữu hạn, như $0, 75$ ‍ bội của pi, như $12 pi$ ‍ hoặc $2 / 3 pi$ ‍

[Tôi cần trợ giúp!]

Câu hỏi nâng cao

7*) Chọn tất cả các công thức biểu diễn cấp số cộng $101, 114, 127, …$ ‍

[Tôi cần trợ giúp!]

Tham gia cuộc thảo luận?

Đăng nhập

Sắp xếp theo:

Chưa có bài đăng nào.

Bạn có hiểu Tiếng Anh không? Bấm vào đây để thấy thêm các thảo luận trên trang Khan Academy Tiếng Anh.